Diskrete Verteilungen (Wahrscheinlichkeitsverteilung)

Question

ich hänge gerade an folgender Aufgabe:

Ein Kunde gibt eine Bestellung über 37 Cheeseburger auf. Die Zeit, die für die Zubereitung benötigt wird, sei zufällig mit Erwartungswert 1 (Min.) und Standardabweichung 0.5 (Min.). Nehmen Sie an, die Zubereitungszeiten seien unabängig, identisch verteilt und nacheinander.

Berechnen Sie approximativ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Bearbeitung dieser Bestellung länger als 40 Minuten dauert.

Was mich irritiert, ist das kein Wahrscheinlichkeiten gegeben sind, da P (X > 40) = 1 - P (X ≤ 40), so hätte ich die Wahrscheinlichkeiten aufsummieren können. Mit dem Erwartungswert und Standardabweichung weiß ich leider nicht, wie ich das berechnen kann.

Danke schon mal!

Answer 1

Nimm an, die Zubereitungszeit eines Cheeseburgers ist normalverteilt mit μ = 1 min und σ = 0.5 min.

Wie ist dann die Zubereitungszeit von 37 Cheeseburgern verteilt? μ = __?__ min und σ = __?__ min.

PS: Wie kommst du darauf, dies sei eine diskrete Verteilung?

Comments

μ = 37 Min. und σ = 18,5 Min.?

Wäre dann über die Standard-Normalverteilung

1 - (P ≤ 40)

$$1-P (\frac{X-37}{18,5} ≤ \frac{40 - 37}{18,5})$$

= 1 - Φ(0,16)

= 1 - 0,5636 = 0,464

der richtige Rechenweg?

Unsere Professorin hatte der Aufgabe die Überschrift diskrete Verteilungen gegeben, daher kommt das :)

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μ = 37 Min. und σ = 18,5 Min.?

Ist das jetzt geraten oder benutzt du eine Formel, die ihr gelernt habt? Wenn das aus dem Bauch heraus geraten ist, dann würde ich mir wünschen, dass du trotzdem nochmal nachschaust, ob ihr dazu irgendwas gelernt habt und einfach mal die Formel hinschreibst.

Warum das die Professorin unter der Überschrift diskrete Verteilungen aufgeschrieben hat, ist mir allerdings nicht wirklich klar. Vielleicht, weil die Uhr der Professorin die Zeit nur in Sekunden genau messen kann. Ich würde die Zeit als stetige Zufallsgröße nehmen und mal voraussetzen wir seinen in der Lage die Zeit unendlich genau zu messen, was allerdings leider nicht möglich ist.

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Das war tatsächlich mehr geraten, aber als Rechenregel für den E(X) haben wir gegeben bekommen, dass E(aX) = a E(X) ist.

Für die V(X) gilt: $$\sum \limits_{i=0}^{n}V(X) = V\sum \limits_{i=0}^{n}(Xi)$$

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Wenn du jetzt weißt, das gilt:

E(n·X) = n·E(X) und V(n·X) = n·V(X)

Dann kannst du die meine Frage nochmals beantworten:

Wie ist dann die Zubereitungszeit von 37 Cheeseburgern verteilt? μ = __?__ min und σ = __?__ min.

Und mit diesen Parametern und der Normalverteilung kannst du dann auch die geforderte Wahrscheinlichkeit berechnen.

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Dann ist 37 * E(X) = 37 Min. und 37 * V(X) = 18,5, oder steh ich auf dem Schlauch?

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Verwechselst du jetzt die Varianz und die Standardabweichung? Mathematik hat sehr viel mit Genauigkeit zu tun.

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Oh man, ja, tatsächlich. Das sollte eigentlich nicht mehr passieren.

Dann sollte σ = 37 * (0,5)² = 9,25 sein.

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Meinst du die Standardabweichung ist 9.25? Wenn ja das ist das leider nicht richtig.

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Also wenn es nicht die Wurzel aus 9.25 ist, dann weiß ich leider auch nicht mehr

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Doch die Wurzel aus 9.25 würde stimmen. Was du ausgerechnet hast war eben die Varianz. Das solltest du auch so beschriften.

P(X > 40) = 1 - NORMAL((40 - 37)/√(37·0.5^2)) = 0.1620

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Danke! Stand heute sehr auf dem Schlauch.