Bestimmen Sie das Verhältnis der Längen von Grundkreisradius und Höhe!

Question

Aufgabe: Welcher Kreiszylinder hat bei gegebenen Oberflächeninhalt Ao das größte Volumen? Bestimmen Sie das Verhältnis der Längen von Grundkreisradius und Höhe!

Problem/Ansatz:

Ich habe das Problem, dass ich keine Ahnung habe wie ich diese Aufgabe verschriftlichen soll. Mir ist aber klar das Radius und Höhe im Verhältnis 2:1 stehen müssen um ein größtmögliches Volumen zu erhalten, da quadratische Flächen immer die größten sind. Vielen Dank im voraus!

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Oberfläche \(A_0\) des Kreiszylinders mit Radius \(r\) und Höhe \(h\) ist vorgegeben:$$A_0=\underbrace{2\pi\,r^2}_{\text{Boden und Deckel}}+\underbrace{2\pi rh}_{\text{Mantel}}$$Das Verhältnis \(\frac hr\) soll so bestimmt werden, dass das Volumen$$V=\pi r^2h=\frac r2\cdot2\pi rh=\frac r2\cdot(A_0-2\pi r^2)=\frac{A_0}{2}\,r-\pi r^3$$maximial wird. Dazu muss die Ableitung verschwinden:$$0\stackrel!=V'(r)=\frac{A_0}{2}-3\pi r^2=\left(\pi r^2+\pi rh\right)-3\pi r^2=\pi rh-2\pi r^2=\pi r(h-2r)$$Da \(r>0\) gilt, ist die Bedinung nur erfüllt, falls die Klammer Null wird:$$h=2r\quad\implies\quad\frac hr=2$$

Answer 2

Welcher Kreiszylinder hat bei gegebenen Oberflächeninhalt Ao das größte Volumen? Bestimmen Sie das Verhältnis der Längen von Grundkreisradius und Höhe!

O = 2·pi·r^2 + 2·pi·r·h --> h = O/(2·pi·r) - r

V = pi·r^2·h = pi·r^2·(O/(2·pi·r) - r) = O·r/2 - pi·r^3
V' = O/2 - 3·pi·r^2 = 0 → r = √(O/(6·pi))

h = O/(2·pi·r) - r = √(2·O/(3·pi)) = 2·r

r/h = 1/2

Comments

Wie genau kommst du in der 4. Zeile auf bei der Subtraktio von O/(2·pi·r) - r (wo du für r einsetzt) auf 2r am Ende. Welche Regel beachte ich beim nachrechnen nicht?

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h = O/(2·pi·r) - r = √(2·O/(3·pi)) = √(4·O/(6·pi)) = 2·√(O/(6·pi))

Da r = √(O/(6·pi)) kannst du die Wurzel dann durch r ersetzen. Ist das dann klar?

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Ist klar. Ich habe einfach nicht erkannt das bei der Subtraktion das gleiche wie bei der Umstellung nach r rausgekommen ist. Vielen Dank!