Zeige, dass 10m + 8 = n + n2 für m, n ∈ ℕ keine Lösung besitzt.

Question

Aufgabe:

Zeige, dass 10m + 8 = n + n² für m, n ∈ ℕ keine Lösung besitzt.

Problem/Ansatz:

Ich hätte versucht die Divisionsreste von n bei Division durch 10 zu berechnen, aber ich habe keine Ahnung wie man das bei Variablen machen kann. Könnte mir jemand ein Beispiel oder eine Stratgie nennen?

Answer 1

Dein Ansatz ist schonmal gut, mit modular-arithmetischen Gesetzen ergibt sich

\( 10 m+8=n+n^{2} \Longrightarrow 8=R_{10}\left(R_{10}(n)+R_{10}(n)^{2}\right) \)
Jetzt musst du einfach alle Vertreter der Restklasse betrachten, also \( \{0,1,2, \ldots, 9\} \), und nachweisen, dass die obige Gleichung nicht erfüllt ist. Also
\( \begin{array}{c} R_{10}\left(1+1^{2}\right)=2 \neq 8 \\ R_{10}\left(2+2^{2}\right)=6 \neq 8 \\ \vdots \\ R_{10}\left(9+9^{2}\right)=0 \neq 8 \end{array} \)

Comments

Dankeschön!!

Answer 2

Betrachte die Gleichung modulo 5:

\(3\equiv n^2+n\) mod \(5\).

\(n^2+n\) nimmt mod \(5\) nur die Werte \(0,1,2\) an.

Answer 3

Hallo,

n+n²=n•(n+1)

1•2; 3•4; 6•7; 8•9 enden mit 2,

2•3; 7•8 enden mit 6,

0•1; 4•5; 5•6; 9•0 enden mit 0.

Kein Produkt zweier aufeinander folgender Zahlen endet mit 8.

:-)