Für welche Werte von t hat der Graph zu \( f_{t} (x) = e^{x} - t \cdot x \) keine, eine oder zwei Nullstellen?
Ich möchte die Frage noch etwas ausführlicher beantworten.
Zunächst ist es wesentlich einfacher, nicht die Gleichung \( e^{x} - t \cdot x =0 \) zu untersuchen, sondern die äquivalente Gleichung \( e^{x} = t \cdot x \). Es wird also eine Exponentialfunktion mit einer proportionalen Funktion geschnitten. Aufgrund der Eigenschaften der beiden Funktionen sind die folgenden Fälle offensichtlich:
(1) Für \(t<0\) gibt es genau einen Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen, also auch genau eine Nullstelle der Graphen \(f_t\).
(2) Für \(t=0\) gibt es keinen Schnittpunkt.
Dies bleibt für größer werdende \(t\) solange so, bis sich beide Graphen berühren. In diesem Fall haben sie genau einen Schnittpunkt. Für noch größere \(t\) gibt es immer genau zwei Schnittpunkte, da die Exponentialfunktion linksgekrümmt ist.
Um nun dasjenige \(t\) zu ermitteln, für das sich die beiden Graphen berühren, bestimme ich zunächst die Berührstelle. Für sie muss $$ e^{x} = t \cdot x \quad\land\quad e^{x} = t $$ gelten, das heißt, die Funktionswerte und die Ableitungswerte müssen an der Berührstelle übereinstimmen. Das ist genau für \(x=1\) der Fall. Daraus folgt dann \(t=e\).
Jetzt lassen sich die Fälle vervollständigen:
(3) Für \(0 < t < e\) gibt es keine Schnittpunkte.
(4) Für \(e=t\) gibt es genau einen Schnittpunkt.
(5) Für \(e<t\) gibt es genau zwei Schnittpunkte.
Das sind, wie ich finde ganz einfache Überlegungen, mit der sich die Aufgabe lösen lässt, ohne auf Plotter oder Logarithmen zurückzugreifen. Vielleicht ist das auch der intendierte Lösungsweg.
