Anwendung Ableitungsregeln Beispielen

Question

Text erkannt:

Differenziere ohne Technologieeinsatz und vereinfache, kontrolliere anschließend mit dem Rechner:
100 c) \( f(x)=\frac{3}{x^{2}} \)
101 a) \( f(x)=3 x^{\frac{1}{2}} \)
b) \( f(x)=5 x^{\frac{3}{4}} \)
135 b) \( f(x)=\frac{2-2 x^{2}}{x^{2}} \)
c) \( f(x)=\frac{3-x^{2}}{x^{2}+7} \)
136 b) \( f(x)=\frac{6 x-1}{x^{2}-5 x+6} \)
177 a) \( f(x)=\left(x^{3}-4\right)^{8} \)
c) \( f(x)=\left(x^{2}-3 x+1\right)^{9} \)
181 a) \( f(x)=\sqrt[3]{5-x^{2}} \)
b) \( f(x)=\sqrt[4]{\left(9 x^{2}-1\right)^{3}} \)
349 a) \( f(x)=\sin (2 x) \)
351 a) \( f(x)=\sin \left(x^{2}\right) \)
b) \( f(x)=(\sin (x))^{2} \)
369 a) \( f(x)=x \cdot \cos (x) \)
c) \( f(x)=\frac{\cos (x)}{x} \)
381 a) \( f(x)=e^{7 x} \)

Aufgabe:

…

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand erklären wie man hier vorgeht? Bei 101/135/136

Answer 1

Hallo,

101a)

\( f(x)=3 x^{\frac12} \)

\( f'(x)=3\cdot\frac12 x^{\frac{1}{2}-1} =\frac32x^{-\frac{1}{2}} \)

101b)

\( f(x)=5 x^{\frac{3}{4}} \)

\( f'(x)=5\cdot\frac34 x^{\frac{3}{4}-1}=\frac{15}{4}\cdot x^{-\frac14} \)

135b)

\( f(x)=\dfrac{2-2 x^{2}}{x^{2}} =\dfrac{2}{x^2} -2=2x^{-2}-2\)

\(f'(x)=2\cdot(-2)x^{-3}=\dfrac{-4}{x^3}\)

136b)

Hier hilft die Quotientenregel.

\( f(x)=\dfrac{6 x-1}{x^{2}-5 x+6} \)

\( f(x)=\dfrac{6(x^2-5x+6)-(6x-1)(2x-5)}{(x^{2}-5 x+6)^2} \)

Jetzt noch ausmultiplizieren und zusammenfassen.

:-)

Comments

Vielen Dank!!!

---

Gerne.

☺

Answer 2

Keine Eigene Idee?

Potenzregel beim Ableiten

[x^q]' = q * x^{q - 1}

Comments

Ich habe die Regeln im Formelheft aber kann mir jemand bei einem Beispiel diese vorführen? Danke

---

Z.B.

101. a)

f(x) = 3·x^{1/3}
f'(x) = 3·1/3·x^{1/3 - 1} = x^{- 2/3}

Ich empfehle auch die Verwendung von Photomath oder https://www.ableitungsrechner.net.

Answer 3

Aloha :)

zu 101) Hier kannst du die Ableitung einer Potenz verwenden: \(\left(x^r\right)'=r\cdot x^{r-1}\)$$\left(3x^{\frac12}\right)'=3\cdot\frac12x^{-\frac12}=\frac32\,\frac{1}{x^{\frac12}}=\frac{3}{2\sqrt x}$$$$\left(5x^{\frac34}\right)'=5\cdot\frac34x^{-\frac14}=\frac{15}{4}\,\frac{1}{x^{\frac14}}=\frac{15}{4\sqrt[4] x}$$

zu 135b) Hier kannst du zinächst vereinfachen:$$\left(\frac{2-2x^2}{x^2}\right)'=\left(\frac{2}{x^2}-\frac{2x^2}{x^2}\right)'=\left(2x^{-2}-2\right)'=2\cdot(-2)x^{-3}=-4x^{-3}=-\frac{4}{x^3}$$

zu 135c) und 136b) Hier würde ich direkt die Quotientenregel anwenden:

$$\left(\frac{3-x^2}{x^2+7}\right)'=\frac{-2x(x^2+7)-(3-x^2)2x}{(x^2+7)^2}=\frac{-2x^3-14x-6x+2x^3}{(x^2+7)^2}=\frac{-20x}{(x^2+7)^2}$$

$$\left(\frac{6x-1}{x^2-5x+6}\right)'=\frac{6(x^2-5x+6)-(6x-1)(2x-5)}{x^2-5x+6}$$$$\phantom{\left(\frac{6x-1}{x^2-5x+6}\right)'}=\frac{6x^2-30x+36-(12x^2-2x-30x+5)}{(x^2-5x+6)^2}=\frac{-6x^2+2x+31}{(x^2-5x+6)^2}$$

Comments

Vielen Dank :)