Wie kann man dies schneller berechnen?

Question

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Folge \( \left(d_{n}\right)_{n=0}^{\infty} \), wobei \( d_{n}=4 n+2+\frac{1}{2^{n}} \) Summe berechnen \( \sum \limits_{n=0}^{13} d_{n} \)

Aufgabe:

Answer 1

\( d_{n}=4 n+2+\frac{1}{2^{n}} \) Summe berechnen

 \( \sum \limits_{n=0}^{13} d_{n} \)

\( \sum \limits_{n=0}^{13} 4n + 2 + \frac{1}{2^{n}} \)

\( =4\sum \limits_{n=0}^{13} n + 2*14 +\sum \limits_{n=0}^{13} \frac{1}{2^{n}} \)

\(= 4\cdot \frac{13*14}{2}  + 28 +\sum \limits_{n=0}^{13} \frac{1}{2^{n}} \)

\( = 364  + 28 +\sum \limits_{n=0}^{13} \frac{1}{2^{n}} \)

Und das letzte ist eine endliche geometrische Reihe mit q=1/2 ,

geht also nach der Formel (q^(n+1) - 1) / ( q-1) .

Answer 2

Σ (n = 0 bis 13) dn = Σ (n = 0 bis 13) 4n + Σ (n = 0 bis 13) 2 + Σ (n = 0 bis 13) (1/2)^n

Σ (n = 0 bis 13) dn = 4·13·(13 + 1)/2 + 2·(13 + 1) + ((1/2)^(13 + 1) - 1)/(1/2 - 1) = 3227647/8192 = 394