Aloha :)
Betrachte folgenden Ausdruck:$$\phantom{=}\|\vec a\times\vec b\|^2+(\vec a\cdot\vec b)^2$$$$=\left\|\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}\right\|^2+(\vec a\cdot\vec b)^2=\left\|\begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}\right\|^2+(\vec a\cdot\vec b)^2$$$$=(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_3b_1-a_1b_3)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2+(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2$$Jetzt rechnen wir die Klammern aus und spendieren jeder Klammer eine eigene Zeile:$$=a_2^2b_3^2+a_3^2b_2^2-2a_2a_3b_2b_3$$$$+a_3^2b_1^2+a_1^2b_3^2-2a_1a_3b_1b_3$$$$+a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2-2a_1a_2b_1b_2$$$$+a_1^2b_1^2+a_2^2b_2^2+a_3^2b_3^2+2a_1b_1a_2b_2+2a_1b_1a_3b_3+2a_2b_2a_3b_3$$Alle Terme mit einer \(2\) am Anfang heben sich gegenseitig weg, übrig bleibt:$$=a_2^2b_3^2+a_3^2b_2^2+a_3^2b_1^2+a_1^2b_3^2+a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2+a_1^2b_1^2+a_2^2b_2^2+a_3^2b_3^2$$$$=(a_1^2b_3^2+a_1^2b_2^2+a_1^2b_1^2)+(a_2^2b_3^2+a_2^2b_1^2+a_2^2b_2^2)+(a_3^2b_2^2+a_3^2b_1^2+a_3^2b_3^2)$$$$=a_1^2(b_3^2+b_2^2+b_1^2)+a_2^2(b_3^2+b_1^2+b_2^2)+a_3^2(b_2^2+b_1^2+b_3^2)$$$$=a_1^2\cdot\vec b^2+a_2^2\cdot\vec b^2+a_3^2\cdot\vec b^2$$$$=(a_1^2+a_2^2+a_3^2)\cdot\vec b^2=\vec a^2\cdot\vec b^2$$
Mit \(\vec a^2=a^2\) und \(\vec b^2=b^2\) und der Definition des Skalarproduktes \(\vec a\cdot\vec b=a\cdot b\cdot\cos\varphi\) gilt:$$\|\vec a\times\vec b\|^2+\underbrace{(\vec a\cdot\vec b)^2}_{(ab\cos\varphi)^2}=\underbrace{\vec a^2\cdot\vec b^2}_{a^2\cdot b^2}\quad\implies$$$$\|\vec a\times\vec b\|^2=a^2b^2-a^2b^2\cos^2\varphi=a^2b^2(1-\cos^2\varphi)=a^2b^2\sin^2\varphi\quad\implies$$$$\|\vec a\times\vec b\|=ab\sin\varphi$$
