Berechnen Sie den Parameter C mithilfe der Trapez-Regel [Integralrechnung]

Question

Aufgabe: Die Gegebene Funktion: y=C*ln(4,6+x) rotiert um die x-Achse. Für den entstandenen Rotationskörper wurde in den Grenzen 1<x<3 mit Hilfe der Trapez-Regel (Schrittweite h=1) ein Volumen von V(x)= 162 ermittelt.

Berechnen Sie den zugehörigen Parameter C.

Ein Verbesserungsschritt soll nicht durchgeführt werden

Problem: Mir ist nicht so wirklich klar wie ich die Trapez-Regel mit den Stützstellen hier verwenden muss um auf den Parameter C zu kommen.

Könnte mir jemand einen ersten Ansatz liefern um mir auf die Sprünge zu helfen?

Comments

Mit welcher Formel / Rechnung würde man denn das Volumen des Rotationskörpers theoretisch berechnen?

Allerdings verstehe ich die Bezeichnung V(x) nicht. Wieso sollte das Volumen von einem x abhängen?

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Das Volumen soll nicht von x Abhängen. Ich wollte damit aussagen, dass wir das Volumen des um die x-Achse rotierende Körper berechnen.

Die Formel lautet dafür: Vx=π*∫(f(x))^2*dx.

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Danke für die Antwort, alles weitere ist ja schon geklärt.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Das Volumen des enstehenden Rotationskörpers beträgt$$V=\pi\int\limits_1^3\underbrace{\left[C\ln(4,6+x)\right]^2}_{\eqqcolon f(x)}\,dx$$

Die Anwendung der Trapezregel$$\int\limits_a^bf(x)\,dx\approx\frac{b-a}{n}\left(\frac{f(x_0)}{2}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}f(x_k)+\frac{f(x_n)}{2}\right)$$mit der Schrittweite \(1\) bzw. mit \(n=2\) Intervallen führt auf die Näherung:$$V\approx\pi\,\frac{3-1}{2}\left(\frac{f(1)}{2}+f(2)+\frac{f(3)}{2}\right)=\pi\left(\frac{f(1)}{2}+f(2)+\frac{f(3)}{2}\right)$$$$\phantom{V}=\pi\left(\frac{2,96792}{2}\,C^2+3,56103\,C^2+\frac{4,11339}{2}\,C^2\right)$$$$\phantom{V}=\pi\cdot7,10169\,C^2$$Diese Näherung soll nach Aufgabenstellung gleich \(162\) sein, sodass:$$162\stackrel!=\pi\cdot7,10169\,C^2\implies C=\sqrt{\frac{162}{7,10169\,\pi}}\implies C\approx2,694646$$

Comments

Vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort.

Sehe ich das Richtig, dass die Stützstellen aus der vorgegebenen Grenze 1<x<3 sind?

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Ja, die Schrittweite soll \(1\) sein, also sind die Stützstellen im Intervall \([1;3]\) gegeben durch \(x_0=1\), \(x_1=2\) und \(x_2=3\).

Answer 2

f(x)=C*ln(4,6+x)

Gerade x=1 schneidet f(x) in f(1)=C*ln(4,6+1)=C*ln(5,6)  Strecke AE: C*ln(5,6)

Gerade x=2 schneidet f(x) in f(2)=C*ln(4,6+2)=C*ln(6,6) Strecke BD: C*ln(6,6)

Gerade x=3 schneidet f(x) in f(3)=C*ln(4,6+3)=C*ln(7,6) Strecke FG: C*ln(7,6)

Fläche des Trapez ABDE:

A₁=\( \frac{C*ln(6,6)+C*ln(5,6)}{2} \)*1 

Fläche des Trapez BFGD:

A₂=\( \frac{C*ln(7,6)+C*ln(6,6)}{2} \)*1

A=A₁+A₂

162=\( \frac{C*ln(6,6)+C*ln(5,6)}{2} \)+\( \frac{C*ln(7,6)+C*ln(6,6)}{2} \)

162=\( \frac{C}{2} \)*[ln(6,6)+ln(5,6)+ln(7,6)+ln(6,6)]   C=...

Comments

Ich habe die Fläche A=162FE berechnet.