Rekonstruktion von Funktionen. Eigenschaft in Funktionsgleichung oder Ableitung einsetzen?

Question

Hi Leute.
Ich habe keine Hausaufgabe oder so, sondern eher eine allgemeine Frage zum Rechenweg.

Also im Unterricht haben wir das so gelernt, dass wenn wir beispielsweise irgendein Text haben, dass wir erstmal die Eigenschaften rausschreiben, dann diese in die Funktion einsetzen und dann voneinander subtrahieren.

So eine Sache verstehe ich aber nicht ganz... wenn ich beispielsweise eine Funktion 3. Grades habe, dann schreib ich die ja logischerweise erstmal auf und mach ja auch die 1. Ableitung davon. So und wenn ich jetzt beispielsweise die Eigenschaft f(1) = 2 habe und davon auch die Ableitung mache, dann habe ich ja f´(1) = 0, weil das ja auch eine Eigenschaft sein könnte. Wir haben es zumindest ziemlich oft.

So jetzt verstehe ich nicht das einsetzen in die Gleichung. Ich muss das ja in die Funktion 3 Grades einsetzen, aber wie? Muss ich die Eigenschaft in die Funktion mit der 1. Ableitung einsetzen und die normale Eigenschaft auch in die normale Funktion oder wie?

Answer 1

Hi,

Hast Du einen Text mit Eigenschaften, so würde ich diese erstemal in die Form

f(2) = 0

f'(2) = 3

etc überführen. Also aufschreiben, zu welcher Stelle welcher y-Wert, bzw. Wert der Ableitung gehört.

Nehmen wir gerade mal die obigen beiden Beispiele für eine Funktion dritten Grades.

Der allgemeine Ansatz hierfür lautet ja:

f(x) = ax^3+bx^2+cx+d

f'(x) = 3ax^2+2bx+c

 

Nun nimm Deine Bedingungen und setze sie jeweils in den Ansatz ein:

f(2) = 0:

a*2^3 + b*2^2 + c*2 + d = 0

8a + 4b + 2c + d = 0

f'(2) = 0

3*a*2^2 + 2*b*2 + c = 3

12a + 4b + c = 3

 

Wir brauchen 4 Gleichungen, da ja auch 4 Unbekannte vorhanden sind. Hast Du diese aufgestellt, kannst Du das Gleichungssystem lösen und die Funktion bestimmen.

 

Alles klar? :)

Grüße

Comments

Ah. Also muss ich wenn ich eine Eigenschaft mit einer Ableitung habe, diese auch in die Funktion der ersten Ableitung machen ja?


Weil das war mir ja alles klar am Anfang, mit dem 3 Grad etc. ich wusste nur nie, in welche Gleichung ich die Eigenschaften einsetzen musste.
Du hast mir sehr geholfen, danke :)

Answer 2

Zitat " So und wenn ich jetzt beispielsweise die Eigenschaft f(1) = 2 habe und
davon auch die Ableitung mache, dann habe ich ja f´(1) = 0,
weil das ja auch eine Eigenschaft sein könnte "

   Bisher hast du nur eine Aussage : f ( 1 ) = 2. Dies besagt nur das
der Punkt ( 1 l 2 ) sich auf der Kurve befindet.

  Es wird keine Aussage gemacht ob der Punkt ein Extrempunkt ist
und somit die 1.Ableitung = null ist.

  Für eine Funktion 3.Grades

  f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d

  hast du nur 1 Aussage

  f ( 1 ) = a * 1^3 + b * 1^2 + c * 1 + d = 2
  a + b + c + d = 2

  mfg Georg