Wie beweist man das möglichst kurz (komplexe Zahlen)?

Question

Aufgabe:

Für alle komplexen Zahlen gilt: |1/z|=1/|z|

Problem/Ansatz:

Wie beweist man das möglichst kurz?

Comments

Setze z=x+iy und berechne die linke und rechte Seite. Etwas kürzer geht es, wenn die Polarkoordinaten Darstellung für komplexe Zahlen bekannt ist.

Answer 1

Hallo

|a*b|=|a|*|b| und |1|=1

Aber vielleicht wollen die dass du die Wurzeln √(x^2+y^2) hinschreibst ? Oder hattet ihr |z|=\( \sqrt{z\bar{z}} \)

Aber das ist doch alles kurz?

Answer 2

Wegen \(|z_1|\cdot |z_2|=|z_1\cdot z_2|\) gilt

$$|z|\cdot \left|\frac{1}{z}\right|=\left|z\cdot \frac{1}{z}\right|=|1|=1$$