Ausdrücke möglichst kurz zusammenfassen

Question

Aufgabe:

$$ \frac{(x-y)^{-1}}{(x+y)^{2}} \cdot \frac{(x+y)^{-2}}{(x-y)^{3}} $$

Problem/Ansatz:

Ich finde keinen passenden Ansatz. Die Auflösung aller Klammern brachte mich zum Ergebnis $$\frac 1{x^8+2xy-y^8}$$. Laut Musterlösung ist es aber $$ \frac1{(x^2-y^2)^4}$$. Wie fange ich da am besten an? Oder habe ich einfach Fehler beim ausmultiplizieren gemacht?

Answer 1

Zuerst einmal: Bitte löse hier keine Klammern auf, sondern bediene dich der Binomischen Formeln.

Zu der Lösung:

$$\frac{(x-y)^{-1}}{(x+y)^2}*\frac{(x+y)^{-2}}{(x-y)^3}=\frac{1}{(x+y)^2*(x-y)}*\frac{1}{(x-y)^3*(x+y)^{2}}$$

$$\frac{1}{(x+y)^4*(x-y)^4}=\frac{1}{((x+y)*(x-y))^4}=\frac{1}{(x^2-y^2)^4}$$

Answer 2

a^m/a^n = a^(m-n)

--> (x-y)^-4* (x+y)^-4

= 1/((x-y)(x+y))^4 = 1/(x^2-y^2)^4