Dann soll ich das ausrechnen, ich weiß aber nicht wie ich dadurch auf die f(x) genau kommen soll?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Beweisen Sie: Für jede Polynomfunktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) hat die Taylorreihe \( T_{f, 0} \) von \( f \) um 0 den Konvergenzradius \( \infty \) und für jedes \( x \in \mathbb{R} \) ist \( f(x) \) der Wert von \( T_{f, 0}(x) \).

Hallo ich muss die folgenden Aufgabe lösen. Meine Idee ist es x0 = 0 in die allgemeine Taylorformel einzusetzen. Dann soll ich das ausrechnen, ich weiß aber nicht wie ich dadurch auf die f(x) genau kommen soll ?

Answer 1

Mach mal nen Ansatz für f(x)=ao + a1x + a2x^2 + ... + anx^n

Und bilde die Ableitungen an der Stelle 0 und setze alles

in die Taylorformel ein.

Answer 2

Hallo

jedes Polynom  p(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n ist seine eigene Taylorreihe um 0 das erste Glied f'(0)=a_0

das zweite f'(0)=a_1 , f''(0)=2a_2 usw f^(n)(0)=n!*a_n

alle höheren Ableitungen sind 0 , d,h, die Reihe ist endlich und deshalb für alle x konvergent.

Gruß lul