Potenzreihen und Taylorreihenentwicklung von e^x

Question

Die folgenden 3 Aufgabenteile sollten zusammen in 10 min lösbar sein. Reihen verstehe ich kaum und bräuchte hier noch mal eine Lösung mit verschiedenen Denkansätzen. Dass die Ableitung von e^x = e^x ist, weiß ich.

a) Man gebe die Taylorsche Reihe einer im Punkt x0 beliebig oft differenzierbaren Funktion f(x)  mit Entwicklungspunkt?? x 0 an:

$$ f ( x ) = f ( x o ) + \frac { f ^ { \prime } ( x o ) } { 1 ! } * ( x - x o ) + \ldots $$

b) Man entwickle die Funktion f(x)= e^x um den Punkt xo=0 in einer Taylorreihe.

kommt ja immer e^x und 1 raus wenn ich f(x) und f(o) ableite aber wie bekomm ich das dann in eine reihe?

c) Man bestimme den Konvergenzradius r der Reihe aus der Aufgabe b) und erläutere die Aussage des Ergebnisses.

??

Answer 1

Hi,

a) So ist es

b) Auch das stimmt:

Ergibt also mit a)

e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...

c)

e^x = ∑_n=0^∞ x^n/n!

Der Konvergenzradius kann mittels Quotientenkriterium gefunden werden:

(1/(n+1)!)/(1/n!) = 1/((n+1)!*n!)

Im Limes betrachtet geht das gegen 0. Der Konvergenzradius damit gegen ∞.

Also konvergent für jedes x.

 

Grüße

Comments

danke;) ist einfach scheiße wenn man keine lösung hat. bin mir einfach unsicher.ist da bei der b ein x zuviel? als ergebnis muss ich die dann noch alle in die nform bringen oder?

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Was ist eine nform? Und nein, ich sehe kein x, welches zu viel sein sollte. Wo denn?

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ah eine habs schon.. schaut mit dem/ nur anders aus. ;)bei a und b um zu zeigen das es immer so weiter geht nach... zb n!

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a)

standardformel kann ich

 

b)

 

also ist das ergebnis e^x  hab mich gewundert wo ich das einsetze ich depp;-)

 

c)

 

e^x = ∑_n=0^∞ xⁿ/n!

Der Konvergenzradius kann mittels Quotientenkriterium gefunden werden:

(1/(n+1)!)/(1/n!) = 1/((n+1)!*n!)

 

wäre das die perfekte antwort? 

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Nein, die Antwort wäre unvollständig. Siehe die Interpretation dazu in der obigen Antwort.

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lim n geg unendlich vom betrag an/an+1... hatte ich als ansatz

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Du meinst a_n+1/a_n ;).

Ja. Es geht mir aber nicht um den Ansatz, sondern um die Interpretation des Ergebnisses.

Als Ergebnis:

(1/(n+1)!)/(1/n!) = 1/((n+1)!*n!)

hinzuklatschen ist nicht ausreichend.

1. Limes bilden.

2. Den Grenzwert interpretieren.

Steht aber schon alles in meiner Antwort...

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hier das was ich hatte

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Habs drüben mit beantwortet. Insbesondere 2c) passt hier (im Gegenzug zu meinem Vorkommentar wo ich von etwas anderem ausging (weil Du es nicht genauer klassifiziert hattest)).

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man bestimme den konvergenzradius r der reihe aus der aufgabe b) und erläutere die aussage des ergebnisses.

 

war mir eben nicht sicher ob ich das ausformulieren muss. kollege hat auch gesagt mit quottientenkriterium

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Wie euer Prof das jetzt genau will, weiß ich nicht. Ich aber befände das allerdings als ausreichend.

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brauch in in der a das summenzeichen? also ... summenzeichen ...

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Ne, Du schreibst die Summe ja aus. Nen Summenzeichen brauchts nicht.

Die Glieder die nicht von Interesse sind, werden bspw. mittels Punkte (...) gekennzeichnet.

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perfekt... schreib mir gerade eine optimal lösung raus...also erst nochmal selber probieren dann vergleichen... das summenzeichen hatte ich davor schon abgeschrieben finde es aber sinnlos;-)


man dankt..!!