Konvergenzradius / Potenzreihen / Taylorreihe . Helft mir Bitte!

Question

WWäre nett wenn ihr das alles mit rechenweg bzw. korrekter schreibweise lösen könntet!

Answer 1

2b) Hier würde ich mit Quot.krit. arbeiten, also lim  a_n / a_n+1  für n gegen unendlich bestimmen:

dazu     a_n / a_n+1  = (   k! / k^k  ) *  ( (k+1) ^k+1  / (k+1) !     )

=  (  1/  k^k  ) *  ( (k+1) ^k+1  / (k+1)      )

=     (k+1) ^k  / k^k    

= ( k+1 / k ) ^k 

= ( 1 + 1/k ) ^k   und das geht gegen e ( siehe Hinweis !)

Also Konv.rad = e

3a) Hier ist ein Druckfehler:
Entweder heißt der Exponent n statt -n oder der Term steht im Zähler
statt im Nenner. Also die richtige Gleichung erst mal für n=1 prüfen gibt
f ' (x) = 1 / (x+1) = (x+1) ^-1   
und dann: gelte für ein n die Gleichung:
f ⁽ⁿ⁾ (x) = (-1)^n-1 * (n-1)! * ( 1+x)^-n

Daraus muss die Gltigkeit für n+1 hergeleitet werden,

also f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (x)= (-1)^n-1 * (n-1)! *  (-n) * ( 1+x)^-n-1 

=   (-1)^n-1 * (n-1)! * (-1) *  n  * ( 1+x)^-n-1 

=      (-1)ⁿ  *  n!  * ( 1+x)^-(n+1)

und das ist ja genau der Term für n+1. 

Comments

3b) wegen a) und der Taylorformel hast du

$$f(x) =  \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}*\frac { { x }^{ n } }{ n} $$

für den Konvergenzradius also zu untersuchen: Betrag von

a_n / a_n+1  =( (-1)ⁿ⁺¹ / n)  * ( (n+1) / (-1)ⁿ⁺² )

wegen Betrag also nur

=  (n+1)/n    und für n gegen unendlich geht das gegen 1, also

Konv.rad = 1

Randpunkte -1 und 1 :

bei x = -1 gibt es die Summe

über -1 / n das ist die negative harmonische Reihe

konvergiert also nicht.

bei x= 1 ist es die alternierende harmonische Reihe,

die konvergiert nach Leibniskriterium und zwar gegen ln(2).

Answer 2

hab mal die 2b gerechnet

Comments

sorry hier ist mir ein Fehler passiert, hier nun die Korrektur.