Aufgabe:
1. Es sei f: ℝ2 → ℝ2 ein Endomorphismus, welcher die Eigenwerte λ1 = 0 und λ2 = 4, sowie die zugehörigen Eigenvektoren v1 und v2 besitze. Ist f diagonalisierbar? Falls ja, geben Sie die darstellende Matrix von f bezüglich der Basis B=(v1, v2 ) an.
2. Beweisen Sie: Für beliebige positive Zahlen c1 , c2 , c3 und a1 < a2 < a3 hat die Gleichung \( \frac{c1}{x-a1} \)+\( \frac{c2}{x-a2} \)+\( \frac{c3}{x-a3} \)=0 stets eine Lösung x₁ zwischen a1 und a2 und eine Lösung x₂ zwischen a2 und a3.
Problem/Ansatz:
1. Mein Ansatz war, dass es diagonalisierbar ist, da die geometrische und algebraische Vielfachheit bei beiden λ jeweils 1 ist, also gleich.
Für λ1=0 v1=\( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) und λ2=4 v2=\( \begin{pmatrix} w\\z \end{pmatrix} \)
darstellende Matrix von f: \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \)
\( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \)
\( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) *\( \begin{pmatrix} w\\z \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} 4*w\\4*z \end{pmatrix} \)
a*x+b*y=0 ⇒ b= -\( \frac{a*x}{y} \)
c*x+d*y=0 ⇒ d= -\( \frac{c*x}{y} \)
a*w=b*z=4*w
c*w+d*z=4*z
Durch Umformung:
a=\( \frac{4*w*y}{w*y-x*z} \)
c=\( \frac{4*z*y}{w*y-x*z} \)
Dann würde ich a,b,c,d in die Matrix f einsetzen.
Das hätte ich als Lösung raus, jedoch weiß ich nicht wirklich, ob das richtig ist.
2. Bei der Aufgabe wäre mein Ansatz, dass ich nach x auflöse, jedoch bekomme ich durch die ganzen Variablen das x nicht alleine auf eine Seite. Über einen Tipp, wie ich das gelöst bekomme, würde ich mich sehr freuen.