darstellende Matrix bestimmen und beweisen einer Gleichung

Question

Aufgabe:

1. Es sei f: ℝ² → ℝ² ein Endomorphismus, welcher die Eigenwerte λ₁ = 0 und λ₂ = 4, sowie die zugehörigen Eigenvektoren v₁ und v₂ besitze. Ist f diagonalisierbar? Falls ja, geben Sie die darstellende Matrix von f bezüglich der Basis B=(v₁, v₂ ) an.

2. Beweisen Sie: Für beliebige positive Zahlen c₁ , c₂ , c₃ und a₁ < a₂ < a₃ hat die Gleichung \( \frac{c₁}{x-a₁} \)+\( \frac{c₂}{x-a₂} \)+\( \frac{c₃}{x-a₃} \)=0 stets eine Lösung x₁ zwischen a₁ und a₂ und eine Lösung x₂ zwischen a₂ und a₃.

Problem/Ansatz:

1. Mein Ansatz war, dass es diagonalisierbar ist, da die geometrische und algebraische Vielfachheit bei beiden λ jeweils 1 ist, also gleich.

Für λ₁=0 v₁=\( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) und λ₂=4 v₂=\( \begin{pmatrix} w\\z \end{pmatrix} \)

darstellende Matrix von f: \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) * \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) *\( \begin{pmatrix} w\\z \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} 4*w\\4*z \end{pmatrix} \)

a*x+b*y=0     ⇒ b= -\( \frac{a*x}{y} \)

c*x+d*y=0     ⇒ d= -\( \frac{c*x}{y} \)

a*w=b*z=4*w

c*w+d*z=4*z

Durch Umformung:

a=\( \frac{4*w*y}{w*y-x*z} \)

c=\( \frac{4*z*y}{w*y-x*z} \)

Dann würde ich a,b,c,d in die Matrix f einsetzen.

Das hätte ich als Lösung raus, jedoch weiß ich nicht wirklich, ob das richtig ist.

2. Bei der Aufgabe wäre mein Ansatz, dass ich nach x auflöse, jedoch bekomme ich durch die ganzen Variablen das x nicht alleine auf eine Seite. Über einen Tipp, wie ich das gelöst bekomme, würde ich mich sehr freuen.

Answer 1

1. Ja, \( f \) is diagonalisierbar, die zu \(\lambda_{1}=0 \) und \( \lambda_{2}=4 \) gehörenden Eigenräume haben jeweils Dimension 1 , somit existiert also eine Basis von \( \mathbb{R}^{2} \) aus Eigenvektoren von \( f \), z.B. \( \mathbf{v}_{1} \) und \( \mathbf{v}_{2} \). Wenn nun \( \mathcal{B}=\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}\right\} \) ist, so gilt
\( {}_\mathcal{B}[f]_{\mathcal{B}}=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right] \)
2. Multiplizier alles aus, dann erhältst du eine quadratische Gleichung, die du mit bekannter Formel lösen kannst.

Answer 2

Zu (2):

Multipliziere die Gleichung mit \((x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)\)

Dann ist die Gleichung für \(x\notin \{a_1,a_2,a_3\}\) äquivalent zu

\(f(x)=c_1(x-a_2)(x-a_3)+c_2(x-a_1)(x-a_3)+c_3(x-a_1)(x-a_2)=0\).

Es gilt \(f(a_1)>0,\; f(a_2)<0, \; f(a_3)>0\).

Da \(f\) stetig ist, liefert der Zwischenwertsatz die Existenz von \(x_1,x_2\)

mit \(f(x_1)=f(x_2)=0\) und \(a_1\lt x_1\lt a_2\) und \(a_2\lt x_2\lt a_3\).