Für |z-1| = 1/2*|z+1| alle Z E C bestimmen?

Question

Bestimmen sie rechnerisch alle z ∈ ℂ, für die gilt:

|z - 1| = (1/2) * |z + 1|

Wäre super, wenn mir jemand dazu den Lösungsweg und die richtige Lösung aufschreiben könnte.

Comments

Wenn du das geometrisch machen willst: Betrag einer Differenz bedeutet Abstand von komplexen Zahlen in der komplexen Zahlenebene.

Überleg dir, wo im Koordinatensystem die Punkte liegen, die von z1=1 nur halb so weit entfernt sind wie von z2 = -1 und skizziere diese Punktmenge.

Answer 1

$$\left| z-1 \right| =\frac { 1 }{ 2 } \left| z+1 \right|$$$$\Leftrightarrow \left| a+bi-1 \right| =\frac { 1 }{ 2 } \left| a+bi+1 \right|$$$$\Leftrightarrow \sqrt { { \left( a-1 \right)  }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } =\frac { 1 }{ 2 } \sqrt { { \left( a-1 \right)  }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }$$$$\Leftrightarrow { a }^{ 2 }-2a+1+{ b }^{ 2 }=\frac { 1 }{ 4 } ({ a }^{ 2 }+2a+1+{ b }^{ 2 })$$$$\Leftrightarrow { 4a }^{ 2 }-8a+4+4{ b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+2a+1+{ b }^{ 2 }$$$$\Leftrightarrow { 3a }^{ 2 }-10a+3=-3{ b }^{ 2 }$$$$\Leftrightarrow { b }^{ 2 }={ -a }^{ 2 }+\frac { 10 }{ 3 } a-1$$$$\Leftrightarrow { b }=\pm \sqrt { { -a }^{ 2 }+\frac { 10 }{ 3 } a-1 }$$Da b reell sein muss, muss gelten:$${ -a }^{ 2 }+\frac { 10 }{ 3 } a-1\ge 0$$$$\Leftrightarrow { a }^{ 2 }-\frac { 10 }{ 3 } a+1\le 0$$$$\Leftrightarrow { a }^{ 2 }-\frac { 10 }{ 3 } a\le -1$$$$\Leftrightarrow { a }^{ 2 }-\frac { 10 }{ 3 } a+{ \left( \frac { 5 }{ 3 }  \right)  }^{ 2 }\le \frac { 16 }{ 9 }$$$$\Leftrightarrow { { \left( a-\frac { 5 }{ 3 }  \right)  }^{ 2 } }\le \frac { 16 }{ 9 }$$$$\Leftrightarrow { { \left| a-\frac { 5 }{ 3 }  \right|  } }\le \frac { 4 }{ 3 }$$$$\Leftrightarrow a-\frac { 5 }{ 3 } \le \frac { 4 }{ 3 } \vee -a+\frac { 5 }{ 3 } \le \frac { 4 }{ 3 }$$$$\Leftrightarrow a\le 3\vee a\ge \frac { 1 }{ 3 }$$$$\Leftrightarrow \frac { 1 }{ 3 } \le a\le 3$$Somit erhält man als Lösungsmenge:$$L=\left\{ z=a+bi;a,b\in R|\frac { 1 }{ 3 } \le a\le 3\wedge { b }=\pm \sqrt { { -a }^{ 2 }+\frac { 10 }{ 3 } a-1 }  \right\}$$bzw.$$L=\left\{ z\in C|\frac { 1 }{ 3 } \le Re(z)\le 3\wedge { Im(z) }=\pm \sqrt { { -a }^{ 2 }+\frac { 10 }{ 3 } a-1 }  \right\}$$

Schaut man sich die Bestimmungsgleichung für b ² genauer an, stellt man fest:

$${ b }^{ 2 }={ -a }^{ 2 }+\frac { 10 }{ 3 } a-1$$$$\Leftrightarrow { a }^{ 2 }-\frac { 10 }{ 3 } a+1+{ b }^{ 2 }=0$$$$\Leftrightarrow { a }^{ 2 }-\frac { 10 }{ 3 } a+{ \left( \frac { 5 }{ 3 }  \right)  }^{ 2 }-{ \left( \frac { 5 }{ 3 }  \right)  }^{ 2 }+1+{ b }^{ 2 }=0$$$$\Leftrightarrow { \left( a-\frac { 5 }{ 3 }  \right)  }^{ 2 }-\frac { 16 }{ 9 } +{ b }^{ 2 }=0$$$$\Leftrightarrow { \left( a-\frac { 5 }{ 3 }  \right)  }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }={ \left( \frac { 4 }{ 3 }  \right)  }^{ 2 }$$$$\Leftrightarrow { \left( a-\frac { 5 }{ 3 }  \right)  }^{ 2 }+{ (b-0) }^{ 2 }={ \left( \frac { 4 }{ 3 }  \right)  }^{ 2 }$$

Das aber ist gerade eine Kreisgleichung, nämlich die Gleichung eines Kreises mit dem  Mittelpunkt ( 5 / 3 | 0 ) und dem Radius 4 / 3. Die Lösungen der Gleichung sind also alle diejenigen Punkte, die auf dem Rand dieses Kreises liegen.

Comments

Wow Super! Vielen Dank für die sehr ausführliche Lösung!!

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Gern geschehen. Ich hoffe es war hilfreich.