Determinaten zweireihig unbekannte

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie den Wert von c in der Matrix G = \( \begin{pmatrix} 3 & c \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \) so, dass die Matrix G den Eigenwert 4 besitzt.

Problem/Ansatz: Muss das Ergebnis 4 sein? Und wie soll man das lösen dafür muss die nebendiagonale 11 ergeben aber dies kann kann nicht funktionieren oder?

Wie löse ich das?

Comments

Alternativ muss die Gleichung \(Gv=4v\) eine nichttriviale Lösung für \(v\) haben. Dass ist der Fall, wenn die
Matrix \(G-4E_2\) singulär, also \(\det\begin{pmatrix}-1&c\\4&1\end{pmatrix}=0\) ist. Daraus folgt \(c=-\frac14\).

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Das ist die einfachste und beste Lösung.

Answer 1

Aloha :)

Für jede quadratische Matrix gilt, dass die Summe der Eigenwerte gleich der Summe aller Elemente auf der Hauptdiagonalen ist, und dass das Produkt der Eigenwerte gleich der Determinante der Matrix ist. Bei einer \(2\times2\)-Matrix heißt das:$$\lambda_1+\lambda_2=3+5=8\quad;\quad \lambda_1\cdot\lambda_2=3\cdot5-4\cdot c=15-4c$$

Ein Eigenwert soll \(=4\) sein, also wählen wir \(\lambda_1=4\). Aus der ersten Gleichung folgt dann sofort, dass auch \(\lambda_2=4\) sein muss. Die Matrix hat also den doppelten Eigenwert \(4\). Aus der zweiten Gleichung erhalten wir dann den gesuchten Wert für \(c\):$$\lambda_1\cdot\lambda_2=15-4c\implies c=\frac{\lambda_1\cdot\lambda_2-15}{-4}=\frac{4\cdot4-15}{-4}\implies c=-\frac14$$

Answer 2

Hallo :-)

Du musst doch nur die Determinante ausrechenen und

$$\det(G-4\cdot I_2)=0$$ betrachten.

Comments

Warum das\(\)?

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Sorry, war ein blöder Tippfehler. -.-

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Müsste nicht das \(t\) eine \(4\) sein?

Answer 3

Das ch. Polynom von G ist:

(3-l)(5-l)-4c

15-8l+l^2-4c

Setze l=4 und das ch. Polynom gleich 0

15-32+16-4c =0

-1-4c=0

=> c=-1/4

Also für c=-1/4 hat G den Eigenwert 4