Berechnen Sie mit diesem Einsatz den maximalen Flächeninhalt des Rechtecks.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 4: Betrachten Sie die Funktion mit der Gleichung \( f(x)=100 \cdot e^{-0,1 \cdot x} \) im Intervall [0;15]. Ein Rechteck soll einen Eckpunkt im Koordinatenursprung liegen und ein weiterer Eckpunkt auf dem Graphen der Funktion. Zwei Kanten des Rechtecks liegen auf den Koordinatenachsen.
a) Skizzieren Sie die Situation.
Das Rechteck soll einen möglichst großen Flächeninhalt besitzen.
b) Geben Sie einen geeigneten Ansatz um, um den Flächeninhalt zu bestimmen. Berechnen Sie mit diesem Einsatz den maximalen Flächeninhalt des Rechtecks.
Andere Varianten der Situation sollen nun betrachtet werden.
c) Geben Sie einen Ansatz an, um den Umfang des Rechtecks zu untersuchen.
Berechnen Sie mit Ihrem Einsatz, ob man einen maximalen oder einen minimalen Umfang erhält.
d) Begründen Sie, welche Situation betrachtet wird, wenn man Ihren Funktionsterm aus b) mit dem Faktor \( \frac{1}{2} \) multipliziert.

Problem:

Ich habe keine Ahnung, was ich bei b), c) und d) zu tun habe bzw. wie ich bei diesem Aufgabentyp vorgehen soll, sodass ich auf das richtige Ergebnis komme.

Vielen Dank !

Answer 1

Hallo,

Der Flächeninhalt des Rechtecks wird berechnet mit

\(A=x\cdot f(x)\\A=x\cdot 100e^{-0,1x}\)

Bilde davon die 1. Ableitung, setze sie = 0 und löse nach x auf.

Gruß, Silvia

Answer 2

b)
A(x) = x·f(x) = 100·x·e^(- 0.1·x)
A'(x) = e^(- 0.1·x)·(100 - 10·x) = 0 → x = 10
A(10) = 100·10·e^(- 0.1·10) = 1000/e = 367.9 FE

c)
U(x) = 2·x + 2·f(x) = 200·e^(- 0.1·x) + 2·x
U'(x) = 2 - 20·e^(- 0.1·x) = 0 → x = 10·LN(10) = 23.03
U''(x) = 2·e^(- 0.1·x) > 0 → Tiefpunkt
U(10·LN(10)) = 20·LN(10) + 20 = 66.05 LE