Alte Mathe-Olympiade Aufgabe: Kleinste nicht ergänzbare Zahl.

Question

es handelt sich bei der Aufgabe um eine alte Mathe-Olypiade Aufgabe und es wäre sehr nett, wenn jemand einen Ansatz hätte, denn ich habe keinen:

"In dieser Aufgabe ist unter einer Zahl stets eine ganze positive Zahl zu verstehen.
Wir nennen eine Zahl ergänzbar, wenn sie höchstens 5-stellig ist und sich durch Anhängen
von genau fünf Ziffern an das Ende der Zahl zu einer (höchstens 10-stelligen) Quadratzahl
ergänzen lässt. Beispielsweise ist die Zahl 4 199 ergänzbar, da 419 963 049 eine Quadratzahl
ist. Auch die Zahl 0 ist ergänzbar.
a) Bestimmen Sie die kleinste nicht ergänzbare Zahl.
b) Bestimmen Sie die Anzahl aller ergänzbaren Zahlen"

Vielen Dank für alle Antworten!

Answer 1

Ist x nicht ergänzbar so ist keine der Zahlen in $$\{x \cdot 10^5, \ldots, x\cdot 10^5+10^5-1 \}$$ keine Quadratzahl. Der Abstand der n-ten zur (n+1)-Quadratzahl ist bekanntlich 2n+1, damit muss $$x\cdot 10^5 >(\frac{10^5}{2})^2=50000^2=2,5 \cdot 10^9$$ gelten, also x>25000. Um das exakte x zu suchen gehen wir nun also über die Quadratzahlen von z=50000 ausgehend vor. Die letzten 5 Ziffern von (z+k)²=z²+2kz+k² hängen nur von k² ab. Da $$10^{5/2}=316,...$$ ist der gesuchte Bereich zwischen 50316² und 50317² und es ergibt sich x=25317. Das ergibt auch eine Abschätzung der ergänzbaren Zahlen als mindestens 25000.