Question

Zeigen Sie mittels Reihenmultiplikation, dass für |x|<1

\( \frac{cos(x)}{1-x} \) = 1 + x + (1-\( \frac{1}{2!} \) )*x² + (1-\( \frac{1}{2!} \) )*x³ + (1-\( \frac{1}{2!} \) + \( \frac{1}{4!} \) )*x⁴

Leider bekomme ich die Aufgabe nicht so recht hin :( . Dachte zuerst ich müsste es mit Taylorentwicklung machen, aber das war es nicht. Habe mir nun nochmal Reihenmultiplikation angeschaut und das löst man mit dem Cauchy-Produkt (habe ich das richtig verstanden?) Da kam ich dann aber leider nicht weit. Wäre super wenn mir hier jemand helfen könnte.

Answer 1

Hallo,

Dachte zuerst ich müsste es mit Taylorentwicklung machen, ,,,

Im Prinzip schon. Aber einzeln, denn $$\frac{\cos(x)}{1-x} = \cos(x) \cdot \frac1{1-x}$$und weiter gilt natürlich$$\cos(x)= \sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} = \frac{1}{0!} - \frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!} - \dots \\ \frac{1}{1-x} = \sum\limits_{k=0}^{\infty}x^k = 1 + x+ x^2+x^3+x^4+\dots$$Und mit Hilfe der Reihenmultiplikation kann man diese Reihen nun multiplizieren. Am anschaulichsten vielleicht, wenn man sich das an Hand folgender Tabelle klar macht$$\begin{array}{c|}  & 1& 0& -\frac{1}{2!}& 0& \frac{1}{4!}& 0& -\frac{1}{6!} \\\hline 1 & 1& 0& {\color{red}-\frac{1}{2!}}& {\color{blue}0}& {\color{green}\frac{1}{4!}}& 0& -\frac{1}{6!}\\ 1& 1& {\color{red}0}& {\color{blue}-\frac{1}{2!}}& {\color{green}0}& \frac{1}{4!}& 0& -\frac{1}{6!}\\ 1&{\color{red}1}& {\color{blue}0}& {\color{green}-\frac{1}{2!}}& 0& \frac{1}{4!}& 0& -\frac{1}{6!}\\ 1& {\color{blue}1}& {\color{green}0}& -\frac{1}{2!}& 0& \frac{1}{4!}& 0& -\frac{1}{6!}\\ 1& {\color{green}1}& 0& -\frac{1}{2!}& 0& \frac{1}{4!}& 0& -\frac{1}{6!}\end{array}$$In der ersten Zeile sind die Koeffizienten der Cosinus-Reihe. In der ersten Spalte stehen die Koeffizienten der Taylor-Reihe von \(1/(1-x)\). Nun muss man jedes Element der einen mit jedem Element der anderen multiplizieren. Da links in der Spalte nur 1'en stehen vervielfacht sich ja nur die erste Zeile.$$\implies \frac{\cos(x)}{1-x} = 1 + 1\cdot x + \left({\color{red}1-\frac1{2^!}}\right)x^2 + \left({\color{blue}1-\frac1{2^!}}\right)x^3 + \left({\color{green}1-\frac1{2^!}+\frac1{4!}}\right)x^4 + \dots$$Und dann addiert man die Ergebnisse diagonal. Und zwar so, dass man immer Resultate mit gleichem Exponnten von \(x\) zusammen fasst. Das habe ich farblich markiert. So kommst Du auf die Reihe, die oben in der Frage angegeben ist.

Zur Illustration in Desmos bis \(x^4\):

https://www.desmos.com/calculator/pe0hp76ltz

Der rote Graph zeigt die Funktion \(\cos(x)/(1-x)\) im Intervall \((-1\dots1)\). Der blaue ist die Näherung.

Gruß Werner

Comments

Super vielen Dank erstmal für beide Antworten!

Auf die einzelnen Summen der beiden Produkte bin ich auch gekommen und hab es auch mit solch einer Tabelle probiert, aber ich habe die x^k mit reingezogen. Gibt es dafür eine Regel, dass die Vorfaktoren und die x einzelnen betrachtet werden?

---

Gibt es dafür eine Regel, dass die Vorfaktoren und die x einzelnen betrachtet werden?

eine 'Regel' gibt es wohl nicht. Im Prinzip kannst Du so eine Summe schreiben wie Du willst. Wenn aber am Ende wieder eine Potenzreihe der Art ...$$f(x) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} c_k x^k$$... dabei heraus kommen soll, dann ist es ja nur konsequent logisch, die Koeffizienten mit gleichem Exponenten zu einem \(c_k\) zusammen zu fassen.

Answer 2

Verwende \( cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!} \cdots \)

und \( \frac{1}{1-x} = 1 + x + x² + x³ +\cdots \)

Dann ist das Produkt ja gerade \( \frac{cos(x)}{1-x} \).