Finden Sie alle Nullstellen der folgenden Gleichung

Question

mir ist nich klar wie ich hier vorgehen soll. ich hab versucht x+iy bzw x-iy einzusetzten aber das führt zu nichts. ohne der komplex konj. zahl wäre es ja mit der lösungsformel zu lösen aber wie geht das hier?

Answer 1

Aloha :)

$$\left.z^2+z^\ast+1=0\quad\right|z=x+iy$$$$\left.(x+iy)^2+(x+iy)^\ast+1=0\quad\right|\text{Klammern auflösen}$$$$\left.x^2+2ixy-y^2+x-iy+1=0\quad\right|\text{Real- und Imaginärteil gruppieren}$$$$\left.(x^2-y^2+x+1)+i(2xy-y)=0\quad\right.$$

Real- und Imaginärteil müssen beide \(=0\) sein. Für den Imaginärteil heißt das:$$0\stackrel!=(2xy-y)=2y\left(x-\frac12\right)\implies x=\frac12\;\lor\;y=0$$

Im Fall \(y=0\) lautet die Forderung an den Realteil:$$0\stackrel!=(x^2-0^2+x+1)=\left(x^2+x+\frac14\right)+\frac34=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34\implies\text{keine Lösung}$$Die rechte Seite ist immer \(\ge\frac34\), sodass für \(y=0\) der Realteil nie \(=0\) werden kann.

Im Fall \(x=\frac12\) lautet die Forderung an den Realteil:$$0\stackrel!=\left(\frac14-y^2+\frac12+1\right)=\frac74-y^2\implies y^2=\frac74\implies y=\pm\frac{\sqrt7}{2}$$

Damit lauten die Lösungen der Gleichung:$$z=\frac{1\pm\sqrt7\,i}{2}$$

Comments

Servus Taschakabumba!

Vilen dank fürs durchrechnen und die ausführliche Erklärung dazu

Answer 2

Setzt man \(z=x+iy\) mit reellen \(x,y\), so geht die Gleichung

über in \((x^2-y^2+x+1)+(2xy-y)i=0\), d.h.

\(x^2-y^2+x+1=0\quad (1)\)

und

\(2xy-y=0\quad (2)\).

Nun löse dieses Gleichungssystem ....

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servus Eranus!

Danke für deine Hilfe

Answer 3

z^2 + z* + 1 = 0
(x + y·i)^2 + (x - y·i) + 1 = 0
x^2 + 2·x·y·i - y^2 + x - y·i + 1 = 0
(x^2 - y^2 + x + 1) + (2·x·y - y)·i = 0

Jetzt muss Real- und Imaginärteil Null sein.

2·x·y - y = y·(2·x - 1) = 0 → y = 0 oder x = 1/2

für y = 0

x^2 - 0^2 + x + 1 = 0 → Keine Lösung

für x = 1/2

(1/2)^2 - y^2 + (1/2) + 1 = 0 → y = ± √7/2

Also ist z = 1/2 ± √7/2·i

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Danke für deine Hilfe