Basis vom zweidimensionalen Vektorraum

Question

Aufgabe:

Seien \( x, y, v, w \in \mathbb{R}^{2} \) und \( z \in \mathbb{R}^{3} \) mit
\( x:=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right), y:=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right), z=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right), v=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right), w=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right) \)
Geben Sie, ohne Beweis, alle Tupel an, die eine Basis des \( \mathbb{R}^{2} \) liefern.

Problem/Ansatz:

Ich bin nicht ganz sicher, ob meine Lösung richtig ist. Ich habe als Lösung: (x,y), (x,v), (y,v). Beim \(\mathbb{R}^{3} \) Vektor weiß nicht nicht wie man da rangehen soll.

Answer 1

\(z\) liegt gar nicht im \(R^2\), kann also auch nicht Vektor einer Basis sein.

Ebenso kann v nicht einer Basis angehören, da der Nullvektor immer linear

abhängig ist.

Bleiben nur (x,y),(x,w),(y,w). Das sind linear unabhängige Paare, also Basen.