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Aufgabe:

$$ \text { Es seien } x=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 4 \\ 0 \\ 4 \end{array}\right), Q \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \text { eine orthogonale Matrix und } Q x=\left(\begin{array}{l} \alpha \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \text {. Geben Sie }|\alpha| \text { an } $$


Problem/Ansatz:

Das ist die komplette Aufgabenstellung, ich bin mir leider nicht sicher wie genau ich da rangehe.

Danke im Voraus :)

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2 Antworten

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Aloha :)

Die Matrix \(\mathbf Q\) ist orthogonal, d.h. \(\mathbf Q\cdot \mathbf Q^T=\mathbf 1=\mathbf Q^T\cdot \mathbf Q\).

Wir können zeigen, dass sich die Länge eines Vektors \(\vec x\) nicht ändert, wenn die Abbildung \(\mathbf Q\) auf ihn wirkt:

$$\left\|\mathbf Q\cdot\vec x\right\|^2=(\mathbf Q\cdot\vec x)^T\cdot(\mathbf Q\cdot\vec x)=\vec x^T\cdot\mathbf Q^T\cdot \mathbf Q\cdot\vec x=\vec x^T\cdot\vec x=\left\|\vec x\right\|^2$$

Wenden wir das auf die gegebene Situation an, ergibt sich die Forderung:$$a^2+0^2+0^2+0^2=2^2+4^2+0^2+4^2\implies a^2=36\implies|a|=6$$

Avatar von 152 k 🚀
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Die Multiplikation mit einer orthogonalen Matrix ist Längen-erhaltend,

da es sich um eine Isometrie handelt.

Mehr muss man hier nicht wissen ...

Avatar von 29 k

Ok, dann kommt man aufs richtige Ergebnis, warum hat aber das Ergebnis Q*x nur einen Wert in der ersten Zeile? Was für eine Matrix Q kann ich wählen um auf dieses Ergebnis zu kommen? Mit der Einheitsmatrix klappt es bei mir nicht, die müsste ja auch orthogonal sein.

Die Gestalt des Ergebnisvektors ist hier so vorgegeben.

Der/die AufgabenstellerIn hat das so gemacht, damit Studierende

sich an die Längenerhaltungseigenschaft erinnern sollen.

Wie Q aussieht, ist in der Aufgabe egal.

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