Was sind schwache Ableitungen?

Question

Text erkannt:

(a) Welche der folgenden Funktionen \( f_{i}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) besitzt auf \( \mathbb{R} \) keine klassische, aber eine schwache Ableitung?
\( f_{1}(x)=x^{2} . \)
\( f_{2}(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & x \leq 0 \\ x^{2}, & x>0\end{array}\right. \)
\( \varnothing f_{3}(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & x<0, \\ 1, & x=0, \\ x^{2}, & x>0,\end{array}\right. \)
\( \Phi f_{4}(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & x \leq 0 \\ x, & x>0 .\end{array}\right. \)

Problem/Ansatz:

Ich habe grundsätzlich Probleme, mir etwas unter dem Thema "schwache Ableitungen" vorzustellen. Im Skript habe ich die Definition und wie man nachweist, ob es sich um eine schwache Ableitung handelt, aber alles natürlich sehr trivial geschrieben und leider ohne Beispiel. Nun haben wir diese Aufgabe bekommen und ich habe sie hier bereits mit  Lösung hochgeladen.

Könnte mir jemand erklären, was man rechnen bzw. worauf man achten muss, um die Aufgabe zu lösen? Mit der Definition einer schwachen Ableitung habe ich es schon probiert, aber da weiss ich nicht einmal genau, was ich da genau einsetzen muss.

Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Hallo,

ich gehe davon aus, dass klar ist, dass die beiden ersten Funktionen klassisch differenzierbar sind.

Betrachten wir die letzte, also f_4 und setzen:

$$h(x):=0, \quad x \leq 0 \text{  und } h(x):=1, x>0$$

Sei dann T eine beliebige Testfunktion mit einem Träger in, sagen wir [-a,a]. Dann gilt

$$-\int_{\mathbb{R}}f_4T'=-\int_{-a}^0 0 \cdot T'(x)dx - \int_0^a x \cdot T'(x) dx$$

$$=-\left[xT(x)\right]_0^a + \int_0^a 1 \cdot T(x) dx= \int_{\mathbb{R}}h(x)T(x) dx$$

DAmit ist nach Definition \/f_4'=h\) als schwache Ableitung.

Was nun f_3 betrifft, so ist immer:

$$\int_{\mathbb{R}}f_3T'=\int_{\mathbb{R}}f_2T'$$

Das bedeutet: Beide Funktionen haben dieselbe schwache Ableitung (die für f_2 ein klassische ist)

Gruß Mathhilf