Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige Person in dem Touristenort keinen Tirolerhut trägt?

Question

Aufgabe:

Satz von Bayes bzw. bedingte Wahrscheinlichkeit

"In einem oberbayerischen Touristenort befinden sich zur Hochsaison viermal so viele Touristen wie Einheimische. Touristen tragen zu 60% einen Tirolerhut, Einheimische nur 20%."

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige Person in dem Touristenort keinen Tirolerhut trägt?

Problem/Ansatz:

Folgende bedingte Wahrscheinlichkeiten habe ich formuliert:

A₁ = Tourist ; A₂ = Einheimisch ; B = trägt ein Hut

P (B|A₁) = 0.60 ; P (B₁|A₂) = 0.20 ; P (B₂|A₁) = 0.40 ; P (B₂|A₂) = 0.80

Laut dem Satz von Bayes müsste ich die Formel verwenden:

P (B₂) = P (B₂|A₁) * P (A₁) + P (B₂|A₂) * P (A₂)

Für die A-Priori-Wahrscheinlichkeiten P (A₁) und P (A₂) sind meiner Meinung nach keine Werte angegeben, nur dass es im Sommer viermal so viele Touristen gibt wie Einheimische. Wie soll ich das in Prozente ausdrücken?
In der Lösung ist bspw. für P (A₂) = 0.2 angegeben, ich verstehe aber nicht wie die darauf gekommen sind.

Bitte helft mir, ich wäre euch sehr dankbar.

Answer 1

Für die A-Priori-Wahrscheinlichkeiten P (A_1) und P (A_2) sind meiner Meinung nach keine Werte angegeben, nur dass es im Sommer viermal so viele Touristen gibt wie Einheimische. Wie soll ich das in Prozente ausdrücken? In der Lösung ist bspw. für P (A_2) = 0.2 angegeben, ich verstehe aber nicht wie die darauf gekommen sind.

Die Textinformation

viermal so viele Touristen wie Einheimische

muss in eine mathematische Formel übersetzt werden, etwa so:

\(P\left(A_1\right)=\dfrac{1}{1+4}=0.2\)

\(P\left(A_2\right)=4\cdot 0.2=0.8\) oder auch so:

\(P\left(A_2\right)=\dfrac{4}{1+4}=0.8\)

Answer 2

Aloha :)

Lass uns die Information aus dem Text mal in einer Tabelle darstellen, indem wir (der "glatten Zahlen" wegen) von \(100\) Einheimischen ausgehen:$$\begin{array}{l|rr|r} & \text{Einheimische} & \text{Tourist} & \text{Summe}\\\hline\text{Hut} & 0,2\cdot100 & 0,6\cdot400 & .\\\text{kein Hut} & . & . & .\\\hline\text{Summe} & 100 & 400 & 500\end{array}$$

Wir rechnen die Produkte aus und füllen die Tabelle durch Summation / Subtraktion auf:$$\begin{array}{l|rr|r} & \text{Einheimische} & \text{Tourist} & \text{Summe}\\\hline\text{Hut} & 20 & 240 & 260\\\text{kein Hut} & 80 & 160 & 240\\\hline\text{Summe} & 100 & 400 & 500\end{array}$$

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige Persion keinen Hut trägt beträgt also:$$p=\frac{240}{500}=0,48=48\,\%$$

Answer 3

Baumdiagramm:

0,8*0,4+0,2*0,8 = 0,48

Comments

Hier noch etwas detaillierter:

P(kein Tirolerhut)

= P(Tourist und kein Tirolerhut) + P(Einheimisch und kein Tirolerhut)

= 4/5 * (1 - 0.6) + 1/5 * (1 - 0.2) = 0.48

Answer 4

"In einem oberbayerischen Touristenort befinden sich zur Hochsaison viermal so viele Touristen wie Einheimische. Touristen tragen zu 60% einen Tirolerhut, Einheimische nur 20%."
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige Person in dem Touristenort keinen Tirolerhut trägt?

80 % Touristen
20 % Einheimische

0.80 mal 0.6 = Tourist und Tirolerhut = 0.48
0.80 mal 0.4 = Tourist und kein Tirolerhut = 0.32
0.2 * 0.2 = Einheimisch und Tirolerhut = 0.04
0.2 * 0.8 = Einheimisch und kein Tirolerhut = 0.16

kein Tirolerhut insgesamt 0.32 + 0.16 = 0.48

48 % trägt keinen Tirolerhut

Comments

Woher weißt du, dass es 80% der Touristen gibt und von den Einheimischen 20%? Ich sehe das nämlich nirgendwo in der Aufgabenstellung... :/

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In einem oberbayerischen Touristenort befinden sich zur Hochsaison viermal so viele Touristen wie Einheimische.

Verhältnis Tourist / Einheimisch
4 : 1
oder
80 : 20 ( in % )

Answer 5

Wenn man eine Vierfeldertafel aufstellt, dann bietet es sich an gleich Dezimalzahlen als Wahrscheinlichkeiten zu benutzen.

Ein Verhältnis von 4:1 bedeutet dabei ein Verhältnis von 4/5 = 80% zu 1/5 = 20%

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit lässt sich nach Aufstellen der Vierfeldertafel direkt ablesen.