Berechnen Sie das Volumen der Pyramide mit Vektoren

Question

Hey Leute

würde mich sehr freuen, wenn ihr mir weiterhelfen könnt.

Vielen Dank im Voraus.

Grus

Ümit

Aufgabenstellung:

Die Punkte A(0/2/1), B(1/3/0) und C(2/2/2) bilden die Grundfläche von Pyramiden mit
der Spitze S(-1/4/t+1) 
1
Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks ABC.
2.
Ermitteln Sie das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von t.

Ich kenne die zugehörigen Formeln, jedoch ist mir einfach nicht klar, warum unser Lehrer in den  Lösungen für Aufgabe 2 die Formel für den Tetreader also V=1/16*((AB x AC) • AS) gewählt hat anstatt die Formel für die Pyramide also V=1/3*((AB x AC) • AS)?

Answer 1

V=((AB x AC) • AS)

ist die Formel für einen Spat, also sowas ähnliches wie ein Quader

nur sind die Seitenflächen Parallelogramme.

Und da deine Pyramide nur die halbe Grundfläche hat ergibt das mit dem 1/3

aus der Pyramidenformel den Faktor 1/6 davor .

(Nicht 1/16, das war wohl ein Tippfehler.)

Answer 2

Mit dem Kreuzprodukt berechnet man die Fläche eines Parallelogramms, welches von 2 Vektoren aufgespannt wird. Du brauchst allerdings nur die Hälfte des Parallelogramms, da du nur ein Dreieck hast.

G = 1/2·|AB x AC|

Diese Formel hätte dir schon in 1. aufgefallen sein sollen oder nicht?

Damit ist das Volumen dann

V = 1/3·1/2·|(AB x AC)·AS|