Wie komme ich jetzt auf die Gestalt x ≡ ...?

Question

Aufgabe:

Bringe durch Anwendung der Kürzung– bzw. der Multiplikationsregel die Kongruenzen 4x ≡ 2(mod(6)),
3x ≡ 5(mod(7)), 2x ≡ 4(mod(11)) alle auf die Gestalt x ≡ . . . und löse die drei so erhaltenen Kongruenzen
mit dem Lösungsschema des Chinesischen Restsatzes.

Problem/Ansatz:

4x ≡ 2(mod(6))

vereinfacht:

2*2x ≡ 2 mod(2*3)

durch 2 dividieren:

2x = 1 mod 3

Wie komme ich jetzt auf die Gestalt x ≡ ...? Wieder durch 2 dividieren?

x ≡ 0,5 mod 1,5 Wäre das so richtig?

Und wie wäre es für die beiden anderen Beispiele?

3x ≡ 5(mod(7))

2x ≡ 4(mod(11))

Wie kann man hier vereinfachen?

Danke im Voraus.

LG

Answer 1

Wieder durch 2 dividieren?

So aehnlich. Mit dem Inversen von 2 in ℤ/3ℤ multiplizieren.

Das Inverse von 2 in ℤ/3ℤ ist 2 (d.h. 2·2 ≡ 1  mod 3). Multiplikation mit 2 liefert also

      x ≡ 2  mod 3.

Comments

Alles klar, danke. Wäre das dann auch so anzuwenden für die anderen beiden Kongruenzen?

Also:

2x ≡ 4(mod(11))

x ≡ 2 mod (5,5) ?

und wie wäre es hiermit 3x ≡ 5(mod(7))

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Nach langen Grübeln bin ich draufgekommen!!

Es ergeben sich:

x≡2 mod 3

x≡4 mod 7

x≡2 mod 11

Damt kann ich den chinesischen Restsatz an meinem Kongruenzsystem anwenden.