Kann ich gucken, ob es von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung wechselt und das als Begründung nehmen?

Question

24 Eigenschaften einer Kurvenschar

alle Kurven sind Graphen von Funktionen \( f_{a} \) mit \( f_{a}(x)=x^{3}-3 a x \) für \( a>0 \).

) Skizzieren Sie die Graphen für a \( =1,2,4,9 \).

) Begrunden Sie die folgenden Aussagen:

(2) Der Graph von f hat im Punkt \( (0 \mid 0) \) die, negativste " Steigung.

(3) Es gibt in der Kurvenschar keinen Graphen mit einem Sattelpunkt.

Problem/Ansatz:

(2) Kann ich gucken, ob es von einer Rechtskrümmung in eine Linkskrümmung wechselt und das als Begründung nehmen?

(3) Da die 3. Ableitung immer ungleich 0 ist gibt es keinen Sattelpunkt.

Zählt das als Begründung?

Answer 1

f(x) = x^3 - 3·a·x

f'(x) = 3·x^2 - 3·a

f''(x) = 6·x = 0 → 0

f'''(x) = 6 > 0 → Minimum

f'(0) = - 3·a ist die negativste bzw. kleinste Steigung.

Comments

Man soll doch aber begründen, dass die negativste steigung bei (0/0) liegt.

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Das f(0) = 0 ist ist doch offensichtlich. Und das dieser Punkt die kleinste Steigung hat habe ich nachgewiesen. Damit ist es gezeigt.

Du kannst das aber auch mit einem RL-Krümmungswechsel begründen.

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Ok danke.

Könntest du bitte auch auf die zweite frage antworten?

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Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit der Steigung 0.

Wie ich oben geschrieben habe, ist die Steigung f'(0) = - 3·a und damit nie 0, weil ja a nicht null werden kann.

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Könnte man auch mit der 3. Ableitung argumentieren?

Answer 2

Aloha :)

Die Kurvenschar lautet:$$f_a(x)=x^3-3ax\quad;\quad a>0$$

zu 2) Der Graph von \(f\) hat bei \((0|0)\) die negativste Steigung.

Über die Steigung an einer Stelle \(x\) gibt die erste Ableitung Auskunft:$$f'_a(x)=3x^2-3a\ge-3a$$Für \(x=0\) ist \(3x^2=0\) minimal, denn Quadratzahlen sind ja immer \(\ge0\). Daher ist \(f'_a(x)\ge-3a\) für alle \(x\in\mathbb R\) und dieses Minimum wird nur bei \(x=0\) angenommen.

zu 3) Damit an einer Stelle \(x_0\) ein Sattelpunkt vorliegt, müssen dort sowohl die erste als auch die zweite Ableitung verschwinden. Die Nullstellen der ersten Ableitung sind:$$0\stackrel!=f'_a(x)=3x^2-3a\implies x_{1;2}=\pm\sqrt a$$An diesen Stellen gilt jedoch für die zweite Ableitung:$$f''(x)=6x\implies f''(\pm\sqrt a)=\pm6\sqrt a\ne0\quad\text{weil }a>0.$$Es gibt also keine Stelle, an der sowohl die erste als auch die zweite Ableitung \(=0\) sind. Damit gibt es auch keinen Sattelpunkt.