Ergebnis eines linearen Gleichungssystems

Question

Aufgabe: lineares Gleichungssystem lösen aus R4 x R4

…

Problem/Ansatz: Gleichung 1 = w1 + Lw3 + w4 = 0   Gleichung 2 = -2w2 + w4 = 0  Gleichung 3 = -2Lw3 + w4 = 0 Gleichung 4   = 0 +0+0+0  = 0

So ich komme da auf ( 3/2   -1/2   -1/2L   -1  ) T die Musterlösung auf (  -3L L 1  2L)   Habe ich da was übersehen ?

Comments

Hallo,

mache doch einfach mal die Probe, um zu sehen, ob es sich in beiden Fällen um eine Lösung handelt.

Gruß Mathhilf

Answer 1

Aloha :)

1) Wir betrachten zuerst den Fall \(\ell\ne0\) und erzeugen mittels elementaren Gauß-Operatiionen möglichst viele Spalten, die lauter Nullen und genau eine Eins enthalten:$$\begin{array}{rrrr|r|l}w_1 & w_2 & w_3 & w_4 & = & \text{Operation}\\\hline1 & 0 & \ell & 1 & 0 &+\frac12\cdot\text{Zeile 3}\\0 & -2 & 0 & 1 & 0 &\colon(-2)\\0 & 0 & -2\ell & 1 & 0 &\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline\\[-2ex]1 & 0 & 0 & \frac32 & 0 &\\[0.5ex]0 & 1 & 0 & -\frac12 & 0 &\\0 & 0 & -2\ell & 1 & 0 &\colon(-2\ell)\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\hline\\[-2ex]1 & 0 & 0 & \frac32 & 0 &\Rightarrow w_1+\frac32w_4=0\\[1ex]0 & 1 & 0 & -\frac12 & 0 &\Rightarrow w_2-\frac12w_4=0\\[1ex]0 & 0 & 1 & -\frac{1}{2\ell} & 0 &\Rightarrow w_3-\frac{1}{2\ell}w_4=0\\[1ex] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\checkmark\end{array}$$

Die letzte Gleichung ist immer wahr. Die ersten drei Gleichungen können wir jeweils nach der vordersten Variablen umstellen:$$w_1=-\frac32w_4\quad;\quad w_2=\frac12w_4\quad;\quad w_3=\frac{1}{2\ell}w_4$$

Damit haben wir für \(\ell\ne0\) alle Lösungen gefunden:$$\begin{pmatrix}w_1\\w_2\\w_3\\w_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac32w_4\\[1ex]\frac12w_4\\[1ex]\frac{1}{2\ell}w_4\\[1ex]w_4\end{pmatrix}=\frac{w_4}{2\ell}\begin{pmatrix}-3\ell\\\ell\\1\\2\ell\end{pmatrix}$$Da \(w_4\in\mathbb R\) beliebig gewählt werden kann, kannst du den Vorfaktor \(\frac{\omega_4}{2\ell}\) durch jede beliebige Zahl \(\lambda\in\mathbb R\) ersetzen und erhältst alle Lösungen des Gleichungssystems.

Das sieht deiner Lösung sehr ähnlich, du hast nur nicht den Faktor \(\frac{w_4}{2\ell}\), sondern den Vorfaktor \((-w_4)\) rausgezogen.

2) Den Fall \(\ell=0\) müssen wir noch gesondert betrachten:$$\begin{array}{rrrr|r|l}w_1 & w_2 & w_3 & w_4 & = & \text{Operation}\\\hline1 & 0 & 0 & 1 & 0 &-\text{Zeile 3}\\0 & -2 & 0 & 1 & 0 &-\text{Zeile 3}\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 &\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\hline1 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\0 & -2 & 0 & 0 & 0 &\colon(-2)\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 &\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\\\hline1 & 0 & 0 & 0 & 0 &\Rightarrow w_1=0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 &\Rightarrow w_2=0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0 &\Rightarrow w_3=0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 &\checkmark\end{array}$$

Damit haben wir für \(\ell=0\) alle Lösungen gefunden:$$\begin{pmatrix}w_1\\w_2\\w_3\\w_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\\w_4\end{pmatrix}=w_4\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$$Da \(w_4\in\mathbb R\) beliebig gewählt werden kann, kannst du den Vorfaktor \(w_4\) wieder durch jede beliebige Zahl \(\lambda\in\mathbb R\) ersetzen und erhältst alle Lösungen des Gleichungssystems.

Answer 2

Das ist ein homogenes Gleichungssystem. Offenbar ist der

Lösungsraum 1-dimensional. Also gibt es einen Vektor

(a,b,c,d) , so dass alle Lösungen die Form (a,b,c,d)^T * L haben.

w1            + Lw3 + w4 = 0
      -2w2           + w4 = 0 
              -2Lw3 + w4 = 0

Offenbar kann man w4 frei wählen, etwa w4=s.

==>    -2Lw3 + s = 0 ==>  w3 = s / (2L)

und       -2w2          + s = 0  ==>  w2 = s/2

und  w1            + Lw3 + w4 = 0

==>  w1            + L*s/(2L) + s = 0

==>  w1            + s/2 + s = 0

==>  w1        =    -3s/2 .

Also sehen alle Lösungen so aus:

(  -3s/2  ;   s/2   ;    s/(2L)   ;   s ) und bei der Musterlösung

hat man s=2L gewählt und deine Lösung entsteht für s=-1.

Comments

Ja danke das passt, ich habe auch meinen Fehler gefunden :-)