Berechne die Seitenlängen und Winkelgrößen des Dreiecks ABC

Question

Berechne die Seitenlänge und Winkel des Dreiecks ABC

a=8cm
y=60°
b:c=2:3

Answer 1

Kosinussatz:

c ² = a ² + b ² - 2 a b *cos ( γ )

Mit

a = 8
b / c = 2 / 3 <=> 3 b = 2 c <=> b = ( 2 / 3 ) c
γ = 60 °

ergibt sich daraus:

c ² = 8 ² + ( ( 2 / 3 ) c ) ² - 2 * 8 * ( 2 / 3 ) c  * cos ( 60 ° )

<=> c ² = 64 + ( 4 / 9 ) c ² - ( 16 / 3 ) c

<=> ( 5 / 9 ) c ² + ( 16 / 3 ) c - 64 = 0

<=>  c ² + 9,6 c - 115,2 = 0

Mit der pq-Formel ergibt sich als einzige positve Lösung:

c ≈ 6,96 cm

 

Sinussatz:

sin ( γ ) / c = sin ( β ) / b

<=> sin ( β ) = b * sin ( γ ) / c

mit b = ( 2 / 3 ) c und γ = 60 °

<=> sin ( β ) = ( 2 / 3 ) c  * sin ( 60 °  ) / c = ( 2 / 3 ) sin ( 60 ° ) ≈ 0,5774

<=> β ≈ arcsin ( 0,5774 ) ≈ 35,3 °

 

Daraus ergibt sich für den Winkel α :

α = 180 ° - β - γ = 180 ° - 35,3 ° - 60 ° = 84,7 °

 

Die übrigen Seitenlängen nun wieder mit dem Sinussatz:

sin ( α ) / a = sin ( γ ) / c

<=> a = sin ( α ) * c / sin ( γ ) = sin ( 84,7 ° ) * 6,96 / sin ( 60° ) ≈ 8,0 cm

sin ( β ) / b = sin ( γ ) / c

<=> b = sin ( β ) * c / sin ( γ ) = sin ( 35,3 ° ) * 6,96 / sin ( 60° ) ≈ 4,64 cm

 

 

Comments

Vielen vielen Dank!! Nur wie kommt man auf 5/9 (ziemlich weit oben ) :G

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Es wqurde auf beiden Seiten ( 4 / 9 ) c ² subtrahiert.  Auf der linken Seiten steht dann

c ² - ( 4 / 9 ) c ²

= ( 9 / 9 ) c ² - ( 4 / 9 ) c ²

= ( 5 / 9 ) c ²

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Argh.. Entschuldige meine Dummheit, hatte es selbst bemerkt ;)

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Kein Problem :-)