Hat dieses Vektorfeld ein Potenzial?

Question

Aufgabe:

Die Rotation eines Vektorfeldes f ist gegeben durch:

$$\begin{pmatrix} x\\-y+z\\9\cdot x\cdot y^2-6\cdot x\cdot y \end{pmatrix}$$

Untersuche, ob f ein Potenzial besitzt.

Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe (z.B. hier: https://www.mathelounge.de/653686/prufen-ob-ein-vektorfeld-ein-potential-hat) die Bedingung gefunden, dass es ein Potenzial gibt, wenn die Rotation gleich null ist. Das wäre hier ja nicht der Fall. Andererseits habe ich herausgefunden, dass die Rotation für x=0 und y=z null ergibt und das verwirrt mich nun.

Gibt es nun ein Potenzial oder nicht? Bin für jede Hilfe dankbar.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Wenn es ein Potential zu einem Vektorfeld gibt, bedeutet dies, dass ein Wegintegral durch das Vektorfeld immer denselben Wert ergibt, egal welchen Weg man vom Start- zum Endpunkt wählt.

Mit der Forderung \(x=0\) und \(y=z\) legst du als Weg eine bestimmte Gerade fest:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\z\\z\end{pmatrix}=z\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$Du hast also nur geprüft, dass entlang dieses Weges die Rotation verschwindet.

Zur Prüfung auf ein Potential, darfst du keine Bedingungen an die Koordinaten stellen:

$$\operatorname{rot}\begin{pmatrix}x\\-y+z\\9xy^2-6xy\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}x\\-y+z\\9xy^2-6xy\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}18xy-6x-1\\0-(9y^2-6y)\\0-0\end{pmatrix}\ne\vec 0$$

Hier gibt es also tatsächlich keine Potential.

Comments

Hallo und vielen Dank für die schnelle Antwort und gute Erklärung.

Eine Rückfrage nur: Die Rotation muss ich doch gar nicht ausrechnen bei dieser Aufgabe, weil mit

$$\begin{pmatrix} x\\-y+z\\9\cdot x\cdot y^2-6\cdot x\cdot y \end{pmatrix}$$

bereits die Rotation gegeben war, oder? (f ist als Rotation des Vektorfelds gegeben und nicht das Vektorfeld selbst)

Also einfach nur sagen $$\begin{pmatrix} x\\-y+z\\9\cdot x\cdot y^2-6\cdot x\cdot y \end{pmatrix}\neq \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}$$

und daraus folgt, dass es kein Potenzial des zugehörogen Vektorfelds gibt, richtig?

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Achso, das habe ich überlesen. Dann brauchst du wirklich nichts zu tun, außer zu schreiben, dass die Rotation \(\ne\vec 0\) ist.