Abkühlungsgesetz: Nach wie vielen Minuten hat der Kaffee eine Trinktemperatur von 60 °C?

Question

Aufgabe:

Eine Tasse Kaffee hat eine Temperatur von 90 °C bei einer Raumtemperatur von 20 °C . Der Kaffee kühlt pro Minute um etwa 6% der Differenz zwischen Kaffeetemperatur und Raumtemperatur ab. Der Kaffee kühlt also pro Minute um 90-20 *0.06°c =70*0,06 °C ab. Seine Temperatur beträgt dann T =(20*70*0.94)°C .Nach T Minuten hat er die Temperatur T =( 20*70*0,94^t)°C

(Raumtemperatur andert sich nicht )

a) Nach wie vielen Minuten hat der Kaffee eine Trinktemperatur von 60 °C?

b) Frau M.kann erst in 5 Minuten den Kaffee trinken. Die kalte Milch würde ihn sofort um 10% abkühlen Sie möchte ihn möglichst heiß trinken. Soll sie die Milch sofort eingießen oder erst in 5 Minuten.

Answer 1

Nach T Minuten hat er die Temperatur T =( 20*70*0,94^t)°c

Das wären dann also etwa 1027 ° C ... :-)

Im Ernst: Das Rechenzeichen hinter der 20 muss ein " + " sein, kein " * "

Die Temperatur nach t Minuten beträgt also:

T = ( 20 + 70 * 0,94 ^t ) °c

 

Zu den Fragen:

a) Gefragt ist nach der Zeit t, zu der gilt: T = 60 ° C, also:

60 = 20 + 70 * 0,94 ^t

<=> 40 = 70 * 0,94 ^t

<=> 40 / 70 = 0,94 ^t

<=> log ( 4 / 7 ) = t * log ( 0,94 )

<=> t = log ( 4 / 7 ) / log ( 0,94 ) = 9,04

Also: Nach etwa 9 Minuten hat der Kaffee eine Temperatur von 60 ° C

 

b) Gefragt ist, welche Endtemperatur höher ist.

Erst 5 Minuten warten, dann Milch rein:

T = ( 20 + 70 * 0,94 ⁵ ) * 0,9 = 64,2° C

Sofort Milch rein, dann 5 Minuten warten:

T = ( 20 + ( 90 * 0,9 - 20 ) * 0,94 ⁵ )  = 64,8 °

Wenn also Frau M. den Kaffee nach 5 Minuten möglichst heiß trinken will, dann sollte sie die Milch sofort in den Kaffee geben.

Comments

vielen dank aber wie kommt man auf die 0,9 ? bei b und die zweite Formel bei b ?

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Nun, 0,9 ist nichts anderes als eine andere Schreibweise für 90 % .
Du weißt doch sicher, dass " % " Hundertstel bedeutet, also sind 90 % = 90 / 100 = 0,9 

Die Temperaturformel lautet ja grundsätzlich so:

T = ( Raumtemperatur + ( Anfangstemperatur - Raumtemperatur ) * 0,94 ⁵ )

 

Im ersten Fall zu b) ist die Anfangstemperatur 90 °, also so wie in der Aufgabenstellung angegeben. Nach 5 Minuten Abkühlung hat der Kaffee also die Temperatur:

T = 20 + ( 90 - 20 ) * 0,94 ⁵ = 20 + 70 * 0,94 ⁵

erreicht. Er wird dann durch Hinzufügen der Milch um 10 % abgekühlt sodass seine Temperatur dann nur noch 90 % der Temperatur vor dem Hinzufügen der Milch beträgt, also:

T = ( 20 + 70 * 0,94 ⁵ ) * 0,9

Im zweiten Fall wird jedoch schon vor  Beginn des Abkühlungsprozesses Milch zu dem ursprünglich 90 ° heißen Kaffee gegeben. Dies bewirkt eine sofortige Abkühlung des Kaffees um 10 %. Die Anfangstemperatur zu Beginn des Abkühlungsprozesses beträgt also nur noch 90 % von ursprünglich 90 °. In die oben fett gesetzte Formel muss daher in diesem Falle 90 * 0,9 statt  90 eingesetzt werden, sodass also die Formel in diesem Falle so aussieht:

T = ( 20 + ( 90 * 0,9  - 20 ) * 0,94 ⁵ )

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für was stehen die 20 + und -20 bei der zweiten b Gleichung ?

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Hast du meine Antwort auf deine erste Nachfrage gelesen? Dort steht alles drin.

Achte insbesondere auf die fett gesetzte allgemeine Temperaturformel und versuche, deren Bedeutung zu verstehen.

Welche Temperatur kann der Kaffee auch bei jahrelanger Abkühlung nicht unterschreiten?

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ich verstehe aber leider nicht warum man erst + Raumtemperatur und dann - Raumtemperatur rechnen muss

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@Anonym: Der Kaffee kühlt höchstens auf die Umgebungstemperatur ab. Kälter als die Umgebung kann er nicht werden, wenn er keinen Kühlschrank eingebaut hat.

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und warum steht das +20 vor der klammer und das -20 in der klammer wie weiß man wo man was hinschreibt und warum die klammer und warum kann man das net weglassen weil +20 -20 = 0 ??????

Bitte nochmal erklären :)

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Die Klammer wird doch mit dem Faktor 0,94 ⁵ multipliziert, bevor das Ergebnis zu den 20 addiert wird. Deswegen heben sich die 20 + ... und die  - 20 nicht auf.

Lies doch noch einmal meine Erklärung in meinem ersten Kommentar. Ich finde, dass ich das Ganze  dort recht gut erklärt habe und denke, dass es nicht besser wird, wenn ich es noch einmal versuche...

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"   T = ( 20 + 70 * 0,94 ⁵ ) * 0,9   "

Das gilt aber nur, wenn die Milch 0 Grad Celsius hat.

Hat die Milch Umgebungstemperatur, ist es wurscht, wann man die Milch zugibt (wenn man das leicht geaenderte Oberflaeche / Volumen-Verhaeltnis nach Milchzugabe vernachlaessigt, was wir hier mal tun wollen, da es sonst unendlich kompliziert wuerde und bei einem Schuss Milch in einen Pot Kaffee super-irrelevant ist).

Wird praktisch immer falsch gemacht. Die Argumentation geht dann faelschlicherweise so: Der Kaffee kuehlt schneller ab, wenn das delta T groesser ist, also, wenn man die Milch erst nach 5 Minuten zugibt.

Was stets vergessen wird, ist, dass das Abkuehlen durch die Milch ebenfalls vom delta T abhaengt! Und zwar heben sich die Effekte genau auf (wenn die Milch Umgebungstemperatur hat) und zwar egal, welche Zeitspannen und Mischungsverhaeltnisse man nimmt.