Lösen des Integrals mittels Substitution

Question

Aufgabe: Lösen Sie das Integral $$ I=\int \limits_{-3}^{3}\sqrt[3]{6+2t}*dt $$ mittels Substitution.

Problem: Leider weiß ich nicht wie ich die Aufgabe unter Anwendung der Substitution lösen soll. Welchen Teil der Gleichung soll ich substituieren? Könnte mir jemand einen Ansatz zeigen mit welchem ich dann versuchen würde die Aufgabe zu lösen.

Answer 1

Aloha :)

$$I=\int\limits_{-3}^3\sqrt[3]{6+2t}\,dt=\int\limits_{-3}^3\left(6+2t\right)^{\frac13}dt$$

Wegen \(\frac{d}{dt}(6+2t)=2=\text{const}\), bietet sich folgende Substitution an:$$u\coloneqq6+2t\quad;\quad \frac{du}{dt}=2\Longleftrightarrow dt=\frac{du}{2}\quad;\quad u(-3)=0\quad;\quad u(3)=12$$

Damit vereinfacht sich das Integral:$$I=\int\limits_{0}^{12}u^{\frac13}\,\frac{du}{2}=\frac12\left[\frac{u^{\frac43}}{\frac43}\right]_0^{12}=\frac38\cdot12^{\frac43}=\frac38\cdot12\cdot12^{\frac13}=\frac92\sqrt[3]{12}\approx10,3024\ldots$$

Answer 2

https://www.integralrechner.de/

Hier steht, wie du vorgehen kannst.

Answer 3

\( \int \sqrt[3]{6+2 t} \cdot d t \)
Substitution:
\( 6+2 t=u \rightarrow \rightarrow t=\frac{u}{2}-3 \rightarrow \rightarrow d t=\frac{1}{2} \cdot d u \)
\( \int \sqrt[3]{6+2 t} \cdot d t=\int \sqrt[3]{u} \cdot \frac{1}{2} \cdot d u=\frac{1}{2} \cdot \int u^{\frac{1}{3}} \cdot d u=\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1}=\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}}=\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}=\frac{3}{8} \cdot u^{\frac{4}{3}}+C \)
Re-Substitution:
\( \int \sqrt[3]{6+2 t} \cdot d t=\frac{3}{8} \cdot(6+2 t)^{\frac{4}{3}}+C \)
Nun das bestimmte Integral berechnen.