Substitution eines Integrals

Question

 \( \int \sqrt{1-\sqrt{x}} \mathrm{~d} x \) durch Substitution mit \( 1-\sqrt{x}=u \).

hab die Substitution gemacht, u' =  -1/ \( \sqrt{x} \) , und dx = -2\( \sqrt{x} \)

dann hab ich das integral aufgeteilt zu Int: \( \sqrt{u} \)  , Int: \( \sqrt{-2} \) , Int: \( \sqrt{x} \)  und die drei Komponenten einzeln integriert, mithilfe der Potenzregel, bei Wurzel u = 2u^(3/2) / 3 und bei Wurzel -2 = -2u (hier auch verwirrt weil ich eigentlich denke, dass es doch nicht minus wurzeln geben soll)  und bei Wurzel x = 2x^(3/2) / 3, zusammenaddiert und mit der Konstante C wär das mein Ergebnis gewesen, bei dem ich aber eigentlich sicher bin, dass ich irgendwas falsch gemacht habe.

Comments

Mit diesem Rechner kannst du dein Ergebnis überprüfen.

Er zeigt dir auch den Lösungsweg auf.

https://www.integralrechner.de/

Answer 1

Arbeite sorgfältig:

u' =  -1/ \( \sqrt{x} \)

ist falsch, aber

dx = -2\( \sqrt{x} \)

wiederum stimmt bis auf das fehlende \(\mathrm{d}u\)!

Int: \( \sqrt{u} \)  , Int: \( \sqrt{-2} \) , Int: \( \sqrt{x} \)

Damit kommst du allerdings nicht weiter, da du nach \(u\) integrierst. Da solltest du keine Ausdrücke mehr mit \(x\) haben. Beachte: \(\sqrt{x}=1-u\) aufgrund deiner Substitution. Du erhältst nach der Substitution also folgendes Integral:

\(\int\!\sqrt{u}\cdot (-2)\sqrt{x}\,\mathrm{d}u=-2\int\!\sqrt{u}\cdot (1-u)\,\mathrm{d}u=\ldots\) (ausmultiplizieren und Potenzgesetze)

Comments

Ah ok, ich seh jetzt die Fehler.

Wenn ich das aber jetzt so mache kriege ich als Ergebnis -2 * 2u^(3/2) / 3 + u - 2t^(3/2) / 2 + C

also anders als es bei Mathecoach ist. Und muss man immer die Resub. machen wenn es nicht in der Aufgabenstellung ist?

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Wo kommt denn plötzlich das t her? Wie gesagt, arbeite sorgfältig. Du kommst hier komplett mit der Potenzregel aus. Erst Exponent+1 und dann durch den neuen Exponenten dividieren.

Und selbstverständlich musst du am Ende die Substitution rückgängig machen. Unabhängig von der Aufgabenstellung. Die Substitution dient nur dazu, das Integral zu vereinfachen und mit Hilfe bekannter Regeln zu lösen. Das sieht man an diesem Beispiel ja gut, dass es funktioniert. Am Ende macht man diesen Schritt dann allerdings wieder rückgängig.

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Habs jetzt geschafft, hatte vergessen  das u^1/2 zu multiplizieren mit der Klammer, daher hab ich wieder alle integral Komponenten einzeln integriert, daher kam das "t"   bzw u aus der Integration der 1, ich arbeite mit t immer aber die Aufgabenstellung ist halt u.

Danke euch :)

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Welche Variable du für die Substitution verwendest, spielt ja meist keine Rolle. Schön, dass du es lösen konntest. :)

Wie gesagt, arbeite sorgfältig, das vermeidet viele Fehler!

Answer 2

Du darfst nach dem Substituieren und ersetzen nur noch alles in Abhängigkeit von u haben. Du darfst dann nicht noch ein x drin stehen haben und das integrieren.

∫ √(1 - √x) dx

Subst. u = 1 - √x → √x = 1 - u und 1 du = - 1/(2·√x) dx → dx = - 2·√x du

∫ √u·(- 2·√x) du
= ∫ √u·(- 2·(1 - u)) du
= ∫ (2·u^(3/2) - 2·u^(1/2)) du
= 4/5·u^(5/2) - 4/3·u^(3/2) + C

Resubst.

= 4/5·(1 - √x)^(5/2) - 4/3·(1 - √x)^(3/2) + C