mod5 wäre dann ja immer 1
Nicht immer. Im ersten Fall ist es 0.
\(a^4 \) + \(b^4 \) ist dann mod 5 entweder
0+1=1 (und damit nicht durch 5 teilbar)
oder
1+1=2 (und damit nicht durch 5 teilbar)
oder
0+0=0 (und nicht durch 5 teilbar).
Wenn der Rest von \(a^4 \) + \(b^4 \)
1 oder 2 ist, ist \(a^4 \) + \(b^4 \) nicht durch 5 teilbar und enthält den Primfaktor 5 NICHT.
\(5 \cdot\left(a^{4}+b^{4}\right)=c^{4} \) enthält dann den Primfaktor 5 genau einmal.
Wenn c^4 durch 5 teilbar sein sollte, müsste c^4 der Primfaktor 5 aber viermal (oder achtmal oder zwölfmal ...) enthalten. Also kann c^4 hier nicht durch 5 teilbar sein und ist so nicht darstellbar.
Jetzt überlege dir entsprechend, wie der Fall a=0 mod 5 und b=0 mod 5 im Hinblick auf die Anzahl der Primfaktoren 5 im Term \(5 \cdot\left(a^{4}+b^{4}\right) \) aussieht.