Zeigen Sie, dass die Gleichung keine Lösung besitzt

Question

es wäre toll, wenn mir kurz jemand zeigt, wie ich das hier

Text erkannt:

(c) Zeigen Sie, dass die Gleichung
\( 5 \cdot\left(a^{4}+b^{4}\right)=c^{4} \)
keine Lösung \( a, b, c \in \mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\} \) besitzt.
(d) Untersuchen Sie, ob die Gleichung
\( 5 \cdot\left(a^{2}+b^{2}\right)=c^{2} \)
eine Lösung \( a, b, c \in \mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\} \) besitzt. Begründen Sie Thre Antwort!

löse.

Danke! :)

Comments

(d)  5·(1² + 2²) = 5².

Answer 1

Betrachte die Reste von z^4 mod 5.

Stelle fest, dass es garantiert keine Lösungen geben kann , wenn a≠0 mod 5 oder b≠0 mod 5 gilt.

Untersuche den verbleibenden Fall

a=0 mod 5 und b=0 mod 5

und begründe, warum es da auch nicht geht.

Comments

kannst du das bitte einmal genauer hinschreiben, ich stehe da grade etwas auf dem Schlauch. Danke für die Antwort! :)

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Betrachte die Reste von z^4 mod 5.

Was ist daran unklar?

Ergänze die Lücken:

\(0^4 \equiv ... mod 5\)

\(1^4 \equiv ... mod 5\)

\(2^4 \equiv ... mod 5\)

\(3^4 \equiv ... mod 5\)

\(4^4 \equiv ... mod 5\)

Welche Reste der Summe sind möglich, wenn für beliebige Paare (a,b) die Reste von

\(a^4 \) und \(b^4 \) addierst?

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mod5 wäre dann ja immer 1. ich weiß nur nicht wieso man jetzt überhaupt Modulo rechnen muss, um die Lösbarkeit zu bestimmen ich bin damit nicht wirklich vertraut

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mod5 wäre dann ja immer 1

Nicht immer. Im ersten Fall ist es 0.

\(a^4 \) + \(b^4 \) ist dann mod 5 entweder

0+1=1 (und damit nicht durch 5 teilbar)

oder

1+1=2 (und damit nicht durch 5 teilbar)

oder

0+0=0 (und nicht durch 5 teilbar).

Wenn der Rest von \(a^4 \) + \(b^4 \)
1 oder 2 ist, ist \(a^4 \) + \(b^4 \) nicht durch 5 teilbar und enthält den Primfaktor 5 NICHT.

\(5 \cdot\left(a^{4}+b^{4}\right)=c^{4} \) enthält dann den Primfaktor 5 genau einmal.

Wenn c^4 durch 5 teilbar sein sollte, müsste c^4 der Primfaktor 5 aber viermal (oder achtmal oder zwölfmal ...) enthalten. Also kann c^4 hier nicht durch 5 teilbar sein und ist so nicht darstellbar.

Jetzt überlege dir entsprechend, wie der Fall a=0 mod 5 und b=0 mod 5 im Hinblick auf die Anzahl der Primfaktoren 5 im Term \(5 \cdot\left(a^{4}+b^{4}\right) \) aussieht.

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Wenn a⁴ + b⁴ ≡ 0 mod 5 ist, dann ist es nicht durch 5 teilbar?