Berechnen Sie (Summe von k=2 bis 2012): (−1)^k(3k + (1,003)^k)

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie (Summe von k=2 bis 2012): (−1)^k(3k + (1,003)^k)

Problem/Ansatz:

Weiß ehrlich gesagt nicht wie ich an das Ganze rangehen soll und was ich mit der -1 hoch k am Anfang machen soll...

Answer 1

Ich würde die Summe evtl. zunächst aufteilen für gerade und ungerade k getrennt

also

Fall 1: k = 2n für n = {1, 2, 3, ..., 1006}

Fall 2: k = 2n + 1 für n = {1, 2, 3, ..., 1005}

Answer 2

Aloha :)

$$S=\sum\limits_{k=2}^{2012}(-1)^k\left(3k+1,003^k\right)$$$$\phantom{S}=\sum\limits_{k=1}^{1006}(-1)^{2k}\left(3(2k)+1,003^{2k}\right)+\sum\limits_{k=1}^{1005}(-1)^{2k+1}\left(3(2k+1)+1,003^{2k+1}\right)$$$$\phantom{S}=\sum\limits_{k=1}^{1006}\left(6k+1,003^{2k}\right)-\sum\limits_{k=1}^{1005}\left(6k+3+1,003^{2k+1}\right)$$$$\phantom{S}=\left(\sum\limits_{k=1}^{1006}6k-\sum\limits_{k=1}^{1005}6k\right)+\left(\sum\limits_{k=1}^{1006}1,003^{2k}-1,003\cdot\sum\limits_{k=1}^{1005}1,003^{2k}\right)-\sum\limits_{k=1}^{1005}3$$$$\phantom{S}=6\cdot1006+\left(1,003^{2012}+\sum\limits_{k=1}^{1005}1,003^{2k}-1,003\sum\limits_{k=1}^{1005}1,003^{2k}\right)-3\cdot1005$$$$\phantom S=6036+1,003^{2012}-0,003\sum\limits_{k=1}^{1005}(1,003^2)^k-3015$$$$\phantom S=3021+1,003^{2012}-0,003\cdot\frac{(1,003^2)^{1006}-1}{1,003^2-1}\approx3.229,04$$