Aloha :)
Das Integral für die Oberfläche des Rotationskörpers ist fast richtig. Es fehlt nur eine Klammerung und in der Ableitung taucht ein falsches Vorzeichen auf:$$F=2\pi\int\limits_2^4\underbrace{(2x^3-8x+C)\sqrt{1+(6x^2-8)^2}}_{\eqqcolon f(x)}\,dx$$Das teilen wir in die Schrittweite \(h=1\) auf:$$F=2\pi\left(\,\int\limits_2^3f(x)\,dx+\int\limits_3^4f(x)\,dx\right)$$und berechnen jedes dieser beiden Integrale mit der Simpson-Regel. Das heißt, wir berechnen den Wert des Integranden \(f(x)\) an der linken Intervall-Grenze, in der Mitte des Intervalls und an der rechten Intervall-Grenze. Diese Werte addieren wir dann gewichtet im Verhältnis 1:4:1.$$F=2\pi\left(\frac{f(2)+4\cdot f(2,5)+f(3)}{6}+\frac{f(3)+4\cdot f(3,5)+f(4)}{6}\right)$$$$\phantom F=\frac\pi3\left(f(2)+4\cdot f(2,5)+2\cdot f(3)+4\cdot f(3,5)+f(4)\right)$$Die einzelnen Werte sind$$f(2)=(0+C)\sqrt{257}$$$$4\cdot f(2,5)=4\cdot(11,25+C)\sqrt{871,25}$$$$2\cdot f(3)=2\cdot(30+C)\sqrt{2117}$$$$4\cdot f(3,5)=4\cdot(57,75+C)\sqrt{4291,25}$$$$f(4)=(96+C)\sqrt{7745}$$Damit erhalten wir für die Oberfläche$$F=\frac\pi3\left(576,1569475\cdot C+27669,72328\right)\stackrel!=20620\quad\implies\quad C=-13,8488$$
Bitte die Funktionswerte nochmal nachrechnen, das war etwas fummelig.
