Zeigen sie, dass A nicht invertierbar ist.

Question

Es sei die Matrix A     5  0  -1  3
                                      4  2  0  -2
                                      6  3  0  -3
                                      1  1  0  1

die Fragen lautet nun, "Zeigen sie, dass A nicht invertierbar ist."

Ich habe die Determinante berechnet und bekomme det (A) = 24 ≠ 0.

also wäre A eigtl invertierbar ?!

wenn jemand die Lösung hätte, wäre ich sehr dankbar !!

danke im voraus

Comments

Rechne am besten die Determinante nochmals nach. Die vielen 0-en führen gern zu Flüchtigkeitsfehlern.

Sonst hast du halt dann gezeigt, dass die Matrix invertierbar ist.

Answer 1

Entwickle nach der dritten Spalte (das ist die Zeile bzw. Spalte mit den meisten Nullen).

Du erhältst:

$$det(A)=\left| \begin{matrix} 5 & 0 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 & -2 \\ 6 & 3 & 0 & -3 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix} \right|$$$$=-1*\left| \begin{matrix} 4 & 2 & -2 \\ 6 & 3 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right|$$$$=-1*[(4*3*1)+(2*(-3)*1)+((-2)*6*1)$$$$-(-2)*3*1)-(2*6*1)-(4*(-3)*1)]$$$$=-1*(12+(-6)+(-12)-(-6)-12-(-12))$$$$=-1*(12-6-12+6-12+12)$$$$=-1*0$$$$=0$$
Also ist A nicht invertierbar.

Comments

was passiert mit der oberen spalten (5 0 -1 3) ??

darf man die denn einfach weglassen ? bzw. wieso darf man sie einfach weglassen ?

das versteh ich nicht ganz.

danke aber schon mal für die lösung. du hast sicherlich recht mit deiner rechnung.

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Kennst du den Laplaceschen Entwicklungssatz?

Schau dir mal bei Wikipedia im Kapitel "Determinante" das Beispiel unter "Laplacescher Entwicklungssatz" an:

https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Laplacescher_Entwicklungssatz:

Dann wird dir sicher klarer, warum ich so gerechnet habe.

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So kompliziert braucht man es hier eigentlich gar nicht machen, wenn man bemerkt, dass die dritte Zeile ein Vielfaches der zweiten Zeile ist. D.h. die Zeilen sind nicht linear unabhängig, und deswegen ist die Determinante der Matrix 0.

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Sehr gut! Das hatte ich nicht gesehen.

Und ich dachte, ich hätte es schon genügend vereinfacht , indem ich nach der dritten Spalte entwickelt habe, die ja fast nur aus Nullen besteht ...

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hehe :D ohja, danke 10001000Nick1 !

darauf hab ich jetzt gar nicht geachtet. danke für den hinweis !

danke auch JotEs !!