Geradengleichung mit Parametern Vektoren

Question

Aufgabe:

Wie muss ich hier vorgehen? Gesucht ist ein Wert t, der die Geradengleichung erfüllt.

Problem/Ansatz:

Comments

Bin mittlerweile soweit, dass ich ein LGS aufgestellt habe und die entsprechenden Lösungen berechnet habe.

Nun meine Frage:

Ich habe die 3 Gleichungen umgestellt nach t

Habe zuerst 2 der beiden gleichgesetzt und danach meinen Parameter r in die 3. Gleichung eingesetzt, um schließlich t zu bestimmen.

Wie ist das allgemein bei solchen 3 Gleichungen, inwieweit muss ich einen Wert, der beim gleichsetzen zweier Gleichungen herauskam dann noch prüfen?

Answer 1

Hallo,

ich finde es bei solchen Aufgaben hilfreich, die Variablen auf eine Seite zu bringen:

$2+2r=4+t\Rightarrow 2r-t=2\\ 2+2r=5t\Rightarrow 2r-5t=-2\\ 4-2r=t\Rightarrow -2r-t=-4$

Wenn du die 1. und 3. Zeile addierst, erhältst du

t = 1

Eingesetzt in die Gleichungen erhältst du immer den gleichen Wert für r.

Also hat der Punkt die Koordinaten P (5|5|1)

Gruß, Silvia

Answer 2

Aloha :)

Die Gerade $g$ durch die beiden Punkte lautet:$$g\colon\,\vec x=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}4-2\\4-2\\2-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}$$

Alle möglichen Punkte $P(4+t|5t|t)$ liegen auf folgender Geraden $h$:$$h\colon\,\vec x=\begin{pmatrix}4+t\\5t\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\5\\1\end{pmatrix}$$

Gesucht ist ein gemeinsamer Schnittpunkt der beiden Geraden:$$\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\5\\1\end{pmatrix}$$$$\lambda\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}-t\begin{pmatrix}1\\5\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}$$$$\lambda\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1\\-5\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-2\\-4\end{pmatrix}$$

Da wir nur 2 Unbekannte haben, aber 3 Gleichungen haben, wählen wir die Gleichungen für die 1-te und 2-te Koordinate aus:$$2\lambda-t=2\quad;\quad2\lambda-5t=-2$$Wir stellen beide Gleichungen nach $2\lambda$ um:$$2\lambda=t+2\quad;\quad 2\lambda=5t-2\quad\implies\quad t+2=5t-2\quad\implies \quad t=1$$

Aus $t=1$ folgt $\lambda=1,5$ und Einsetzen bestätigt, dass alle 3 Koordinaten gleich sind.

Der Punkt $(5|5|1)$ liegt also auf der Geraden $g$.