Aloha :)
Die Gerade \(g\) durch die beiden Punkte lautet:$$g\colon\,\vec x=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}4-2\\4-2\\2-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}$$
Alle möglichen Punkte \(P(4+t|5t|t)\) liegen auf folgender Geraden \(h\):$$h\colon\,\vec x=\begin{pmatrix}4+t\\5t\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\5\\1\end{pmatrix}$$
Gesucht ist ein gemeinsamer Schnittpunkt der beiden Geraden:$$\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\5\\1\end{pmatrix}$$$$\lambda\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}-t\begin{pmatrix}1\\5\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\2\\4\end{pmatrix}$$$$\lambda\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-1\\-5\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-2\\-4\end{pmatrix}$$
Da wir nur 2 Unbekannte haben, aber 3 Gleichungen haben, wählen wir die Gleichungen für die 1-te und 2-te Koordinate aus:$$2\lambda-t=2\quad;\quad2\lambda-5t=-2$$Wir stellen beide Gleichungen nach \(2\lambda\) um:$$2\lambda=t+2\quad;\quad 2\lambda=5t-2\quad\implies\quad t+2=5t-2\quad\implies \quad t=1$$
Aus \(t=1\) folgt \(\lambda=1,5\) und Einsetzen bestätigt, dass alle 3 Koordinaten gleich sind.
Der Punkt \((5|5|1)\) liegt also auf der Geraden \(g\).
