Aloha :)
Grundlegende Idee
Wir überlegen uns die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) zusammen eintreten. Dazu muss zuerst das Ereignis \(A\) eingetreten sein, das passiert mit der Wahrscheinlichkeit \(p(A)\). Anschließend muss noch das Ergebnis \(B\) eintreten, das passiert mit der bedingten Wahrscheinlichkeit \(p(B|A)\), weil das Ereignis \(A\) ja bereits vorher eingetreten ist.$$p(A\cap B)=p(A)\cdot p(B|A)$$Es könnte auch das Ereignis \(B\) zuerst eintreten und im Anschluss daran das Ereignis \(A\). Hier taucht dann entsprechend die Wahrscheinlichlkeit \(p(A|B)\) auf, weil \(A\) ja unter der Voraussetzung eintreten soll, dass \(B\) bereits eingetreten ist:$$p(A\cap B)=p(B)\cdot p(A|B)$$Keines der beiden Ereignisse wird irgendwie bevorzugt. Je nach dem, welches zuerst eintritt, muss für das nachfolgende Ereginis die bedingte Wahrscheinlichkeit verwendet werden.
Einfaches Beispiel für abhängige Ereignisse
Ein Würfel werde 1-mal geworfen. Dazu legen wir 2 Ereignisse fest:$$A\colon\text{ Die Augenzahl ist gerade}$$$$B\colon\text{ Die Augenzahl ist größer oder gleich 4}$$
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von \(A\) beträgt:$$p(A)=\frac{\#\{2,4,6\}}{\#\{1,2,3,4,5,6\}}=\frac36=\frac12$$Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von \(B\) beträgt:$$p(B)=\frac{\#\{4,5,6\}}{\#\{1,2,3,4,5,6\}}=\frac36=\frac12$$Die Wahrscheinlichkeit für das kombinierte Ereignis \((A\cap B)\) lautet:$$p(A\cap B)=\frac{\#\{4,6\}}{\#\{1,2,3,4,5,6\}}=\frac26=\frac13$$Die beiden bedingten Wahrscheinlichkeit lauten$$p(A|B)=\frac{\#\{4,6\}}{\#\{4,5,6\}}=\frac23\quad;\quad p(B|A)=\frac{\#\{4,6\}}{\#\{2,4,6\}}=\frac23$$
Durch Nachrechnen verifizieren wir die grundlegende Idee:$$p(A\cap B)=p(A)\cdot p(B|A)=\frac36\cdot\frac23=\frac26=\frac13\quad\checkmark$$$$p(A\cap B)=p(B)\cdot p(A|B)=\frac36\cdot\frac23=\frac26=\frac13\quad\checkmark$$
Unabhängige Ereignisse
Wenn zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) unabhängig voneinander sind, beeinflussen sie die Wahrscheinlichkeit für ihr Eintreten gegenseitig nicht, das heißt formal:$$p(A|B)=p(A)\quad\text{und}\quad p(B|A)=p(B)$$Die beiden Formeln von oben für das gemeinsame Eintreten von \(A\) und \(B\) vereinfachen sich:$$P(A\cap B)=p(A)\cdot p(B)$$
Einfaches Beispiel für unabhängige Ereignisse
Wir werfen unseren Würfel nun 2-mal hintereinander und legen folgende Ereignisse fest:$$C\colon\text{ Die Augenzahl im ersten Wurf ist gerade}$$$$D\colon\text{ Die Augenzahl im zweiten Wurf ist größer oder gleich 4}$$Hier gilt analog zum obigen Beispiel:$$p(C)=\frac12\quad;\quad p(D)=\frac12$$Aber nun sind \(C\) und \(D\) unabhängig voneinander, weil der Würfel ja kein Gedächtnis hat und beim zweiten Wurf nicht weiß, was er beim ersten Wurf angezeigt hat:$$p(C\cap D)=p(C)\cdot p(D)=\frac12\cdot\frac12=\frac14$$
Wir prüfen das durch Abzählen nach, indem wir alle möglichen Ausgänge des Experiments betrachten und alle markieren, bei denen Ereignis \(C\), Ereignis \(D\) oder beide Ereignisse \(C,D\) eintreten:
$$\begin{array}{c}{\text{1-ter Wurf }\rightarrow}\atop{\downarrow\text{ 2-ter Wurf}} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\[1ex]\hline1 & . & C & . & C & . & C.\\2 & . & C & . & C & . & C\\3 & . & C & . & C & . & C\\4 & D & C,D & D & C,D & D & C,D\\5 & D & C,D & D & C,D & D & C,D\\6 & D & C,D & D & C,D & D & C,D\end{array}$$In genau \(9\) von den \(36\) möglichen Fällen, treten beide Ereignisse gemeinsam ein:$$p(C\cap D)=\frac{9}{36}=\frac14$$
