Umkehrbarkeit einer Funktion

Question

Aufgabe:

Welche Bedingungen müssen die Koeffizienten \( a \) und b erfüllen, damit die Funktion
\( f: x \mapsto a x^{3}+b x(a, b \in \mathbb{R}) \) umkehrbar ist?

Problem/Ansatz

Hallo, irgendwie verstehe ich das Thema mit den umkehrfunktionen nicht und muss jetzt diese Aufgabe machen. Könnte mir das irgend jemand erklären? Vielen Dank schonmal:)

Comments

Wann ist eine Funktion Umkehrbar? Im Eindimensionalen wenn sie stetig differenzierbar ist und die Ableitung nirgends 0 wird. Also wie musst du die Koeffizienten wählen?

LG

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Ist x³ nicht umkehrbar?

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y = x^3
Umkehren
x = y^3
y = ³ √ x

Nachtrag : ist für x < 0 nicht definiert.

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My Bad: oder erste und zweite Ableitung 0

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y = x3
Umkehren
x = y3
y = 3 √ x

Nachtrag : ist für x < 0 nicht definiert.

Womit wir wieder beim leidigen und dutzendfach diskutierten Thema wären, ob man dritte Wurzeln aus negativen Zahlen zulässt oder nicht.

Selbst, wenn man es nicht zulässt:

Die Umkehrfunktion von y=x³ mit der Einschränkung x<0 ist y=\( -\sqrt[3]{-x} \)

Answer 1

a und b müssen so sein, dass die Funktion durchgängig monoton wächst oder durchgängig monoton fällt. f(x) darf also keinen Extrempunkt besitzen.