Aufgabe:
Gegeben sei eine Normalverteilte Zufallsvariable mit Standardabweichung = 3 und unbekannten Erwartungswert. Sie ziehen eine Stichprobe vom Umfang n = 9 und berechnen Arithmetisches Mittel = 1/9 Summe (oben 9 unten i=1) x_i = 3
1. Geben Sie ein Intervall (a,b) an, das den Erwartungswert mit Wahrscheinlichkeit 0,99 enthält.
2. Geben Sie ein Intervall (a, infin) an, dass den Erwartungswert mit Wahrscheinlichkeit 0,99 enthält
3. Können Sie bei einem Stichprobenumfang n= 100 ein Intervall (a,b) mit b-a <= 1 angeben, das den Erwartungswert mit Wahrscheinlichkeit 0,99 enthält? Begründen Sie ihre Antwort
Text erkannt:
1. Gegeben sei eine normalverteilte Zufallsvariable mit Standardabweichung \( \sigma=3 \) und unbekanntem Erwartungswert \( \mu \). Sie ziehen eine Stichprobe \( x_{1}, \ldots, x_{9} \) vom Umfang \( n=9 \) und berechnen
\( \bar{x}=\frac{1}{9} \sum \limits_{i=1}^{9} x_{i}=3 \)
(a) Geben Sie ein Intervall \( (a, b) \) an \( (a, b \in \mathbb{R}) \), das den Erwartungswert \( \mu \) mit Wahrscheinlichkeit 0,99 enthält.
(b) Geben Sie ein Intervall \( (a, \infty), a \in \mathbb{R} \), an, dass den Erwartungswert \( \mu \) mit Wahrscheinlichkeit 0,99 enthält.
(c) Können Sie bei einem Stichprobenumfang \( n=100 \) ein Intervall \( (a, b) \) mit \( b-a \leq 1 \) angeben, das den Erwartungswert \( \mu \) mit Wahrscheinlichkeit 0,99 enthält? Begründen Sie Ihre Antwort.
Problem/Ansatz:
Sehe ich das richtig, das ich das Konfidenzintervall berechnen muss?
Somit wäre mein Ansatz:
1.
x_unten = 3 - 2,326 * 1/3 = 0,2246
x_oben = 3 + 2,326 * 1/3 = 1,7753
Somit hätte ich das Intervall: [0,2246; 1,7753]
2.
Da bin ich mir nicht sicher, entweder ist das die gleiche Grenze wie bei 1. also 0,2246 oder
ich habe x_unten = 3 - 3,0902 * 1/3 = -0,03006 (Die -3,0902 kommen von der Quantile mit alpha = 0,999)
3.
Da bin ich komplett raus, mir fehlt ja mein Arithmetisches Mittel, daher kann ich ja nichts berechnen.
Danke für eure Hilfe
