Beweisen Sie, dass M und M' isomorph sind.

Question

Aufgabe:

Es sei \( \mathbb{N}=\{0,1,2, \ldots\} \) die Menge der natürlichen Zahlen, und \( M \) und \( M^{\prime} \) seien die algebraischen Strukturen des Typs \( (1,1,0,1) \), die durch
\( M=(\mathbb{N}, \leq,+, 0) \quad \text { und } \quad M^{\prime}=\left(\left\{2^{n} \mid n \in \mathbb{N}\right\}, \leq, \cdot, 1\right) \)
definiert sind. Beweisen Sie, dass \( M \) und \( M^{\prime} \) isomorph sind.

Kann mir jemand bei dieser Isomorphismusaufgabe helfen? Ich lerne gerade für eine Klausur und würde den Isomorphismus gerne verstehen.

LG

Comments

Was bedeutet denn "Typ (1,1,0,1)"?

Answer 1

\(f:M\rightarrow M'\) mit \(f(n)=2^n\) ist ein Homomorphismus;

denn \(f(n+m)=2^{n+m}=2^n\cdot 2^m=f(n)\cdot f(n)\).

Ferner ist \(f\) bijektiv; denn für \(g:M'\rightarrow M\)

mit \(g(x)=\log_2(x)\) gilt \(f\circ g=id_{M'}\) und

\(g\circ f=id_M\). Klar ist \(f(0)=1\).