Zeige: Bestimmte additive Gruppen sind isomorph

Question

Aufgabe:

Zeige: Die additiven Gruppen (Z/10Z) × (Z/3Z) und (Z/6Z) × (Z/5Z) sind isomorph

und finde einen expliziten Gruppenisomorphismus.

Answer 1

Könnte es klappen mit

(x,y) → ( (x+y) mod 6 ; ( x-y) mod 5  )

 ?

Comments

Danach wäre f( (4,2)+(6,2) ) = f((0,1)) = (1,4)  aber f((4,2))+f((6,2)) = (0,2)+(2,4) = (2,1)

Answer 2

Sind \(m,n\) teilerfremd, so ist \(Z/(mn)Z\cong Z/mZ\times Z/nZ\)

nach dem chinesischen Restsatz. Es ist daher

\(Z/10Z\times Z/3Z\cong (Z/2Z\times Z/5Z)\times Z/3Z\) und

\(Z/6Z\times Z/5Z\cong (Z/2Z\times Z/3Z)\times Z/5Z\),

also bis auf die Reihenfolge die gleichen direkten Faktoren.

Comments

wenn es möglich ist, suche nach nach vollständiger Lösung.

Lg