Zeige, dass die Operation eine Gruppe ist und Isomorph

Question

Hallo. ich sitze schon länger an einer Aufgabe, die für mich nicht wirklich einleuchtend ist. Ich bin mir nicht sicher was diese "Operation" hier sein soll, also wie ich mit ihr umgehen muss.

Es sei (G,°) eine Gruppe und g∈G ein beliebiges Element der Gruppe. Auf der Menge G sei eine Operation ◊ durch x◊y:= x°g°y definiert. Zeige:

a) (G,◊) ist eine Gruppe

b) (G,°) und (G,◊) sind isomorph

Answer 1

die Eigenschaften einer Gruppe sind dir bestimmt klar.

bei a) Zeige, das (G,◊) eine Gruppe ist.

Hier musst du einfach die einzelnen Eigenschaften nachweisen, dabei verwendest du dein Wissen darüber, dass (G,°) eine Gruppe ist. Zum Beispiel weißt du, dass in in (G,°) g^{-1} existiert und eindeutig ist. Dieses ist grade das neutrale Element der Gruppe (G, ◊), usw.

bei b) um zu zeigen, dass zwei Gruppen isomorph sind gibst du am besten einen Isomorphismus an, das heißt du brauchst eine Abbildung die ein Gruppenhomomorphismus und bijektiv ist.

Vielleicht fällt es dir grade noch schwer so einen zu finden also geb ich dir hier schon mal einen vor:

$$ \phi: G \to G, \phi(x) = x°g^{-1}  $$

Dies ist im Grunde die Operation des Elements g^{-1} , zeige jetzt noch, dass dies ein Isomorphismus ist.

Gruß

Comments

Hallo..

Ich bin zufällig auf diese Frage gestoßen zwecks Prüfungsvorbereitung und komme bei der Isomorphie nicht weiter.

Damit der vorgegebene Isomorphismus Φ:G→G, Φ(x)=x°g^-1  ein Isomorphismus ist muss er ja bijektiv sein.

Bei der Injektivität würd ich sagen gehts schief, denn

Φ(x◊y)=Φ(x°g°y)=Φ(x)°Φ(g)°Φ(y) =x°g^-1°g°g^-1°y°g^-1 = x°g^-1 °y°g^-1 =  Φ(x)°Φ(y)≠(x°g°y)°g^-1 =Φ(x°g°y)

Und der Kern von Φ ist auch nicht das neutrale Element in (G,◊)

Ker(Φ)={x∈(G,◊) | Φ(x)=e}

Φ(x)=x°g^-1 = e ⇒ x=g ≠ g^-1

damit Φ jedoch injektiv ist muss Ker(Φ) nur aus dem neutralen Element in (G,◊) bestehen..

Oder täusch ich mich?

Grüße

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Hi du hast leider falsch angenommen in welche Richtung \(\phi\) abbildet. Liegt aber auch daran, dass ich das nicht gut gekennzeichnet habe (dachte es wäre klar in dem Kontext).

\( \phi:\) (G, \(\circ\)) \( \to\) (G,  ◊)

Und nicht anders herum.

Hoffe das klärt das für dich :)

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Ok vielen Dank =)

Damit ist die Injektivität klar..

Die Surjektivität hab ich nun so gezeigt

sei x∈(G,◊)

∃g∈(G,°) , g:=x°g

Φ(g)=Φ(x°g)=x°g°g^-1 =x   für alle x aus (G,◊)

ist das so korrekt?

Und wusstest du eventuell noch andere Aufgaben in dem Stil die sich zur Prüfungsvorbereitung eignen?

Am Montag schreib ich die Algebra Klausur..

Danke schonmal

Grüße

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Du meinst wohl eher \( \exists g' \in (G, \circ) : g' = x \circ g \). Dann macht der Rest auch Sinn.

Ich denke es gibt schon einiges an Aufgaben in dem Stil. Normalerweise kann man meistens bei der Fachschaft nach Altklausuren o. ä. Fragen. Ansonsten such entweder gezielt im Internet nach Aufgaben zu Gruppenisomorphismen oder hol dir Literatur zu Algebra die Übungsaufgaben beinhaltet aus der Bib. Ein Kapitel zu Gruppen findet sich in jedem dieser Bücher.

Answer 2

In (G,°) hast du die Operation °.  Denke einfach mal z.B. an die ganzen Zahlen mit
der Rechenart  (Operation) +.
Dann weißt du wahrscheinlich, das das eine Gruppe ist.
Wenn man nun bei den ganzen Zahlen eine neue Operation miot dem Zeichen "Raute"
[Ich nehme dadür mal #] einführt, die so definiert ist:
a # b = a + 3 + b
kann man sich die Frage stellen, ob die ganzen Zahlen auch mit dieser Operation eine Gruppe
bilden. Dazu muss man die Gruppenaxiome überprüfen, z.B. das Assoziativgesetz.
Das würde dann heißen  (a#b)#c = a#(b#c).
Die Prüfung würde dann so aussehen:
(a#b)#c =    wegen Def von #
(a + 3 + b)#c  =  wieder wegen Def.
(a+3+b)+3+c= wegen Assoziativges. für +
a+3+(b+3+c)= wegen def von #
a+3+(b#c) = wegen def on #
a#(b#c)                  q.e.d.
So ähnlich kannst du das mit den anderen Gruppenaxiomen auch machen.
Bei meinem Beispiel wäre etwa -3 das neutrale Element, weil
a#(-3) nach def a+3+(-3) wäre und das ist a, also    a#(-3)=a

Bei dem Beispiel aus der Aufgabe (ich nehme auch hier # statt Raute, wäre es noch
etwas allgemeiner. Suchst du Z.B. das neutrales Element n in der Gruppe (G;#), so müßte
für jedes x aus G gelten   x#n = x
Nach Def.     x°g°n=x
Damit das stimmt, muss n das in der Gruppe (G;°) zu g inverse Element sein.
Auf diese Weise musst du alle anderen Gruppenaxiome für (G;#) auf die entsprechenden
Dinge in der Gruppe (G;°) zurückführen.   Guten Erfolg!