Beweisen, dass R eine Äquivalenzrelation ist

Question

Auf der Menge \( \mathbb{R} \) der reellen Zahlen definieren wir die Relation \( R \subseteq \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) für alle \( a, b \in \mathbb{R} \) durch:
\( (a, b) \in R \quad \text { genau dann, wenn } \quad(a-b) \in \mathbb{Z} \)
Beweisen Sic, dass \( R \) eine Äquivalenzrelation ist. Beschreiben Sie die Äquivalenzklassen.

Hi, könnt ihr mir bei dieser Aufgabe helfen? Wie ich reflexivität beweise weiß ich. Ich habe Probleme bei der symmetrie und bei der transitivität.

Comments

Ich habe Probleme bei der symmetrie

Wenn ich die Voraussetzung habe, dass \(a-b=m \in \mathbb{Z}\) ist, was kann ich dann über \(b-a\) schließen?

Answer 1

\((a, b) \in R \quad \text { genau dann, wenn } \quad(a-b) \in \mathbb{Z} \)

Und wenn a-b ∈ℤ, dann auch -(a-b) = b-a ∈ℤ,

also (b,a) ∈ R.

Transitivität entsprechend:

a-b ∈ℤ und b-c∈ℤ

==> a-b + (b-c) = a-c ∈ℤ, also (a,c)∈ R.