Auf der Menge R \mathbb{R} R der reellen Zahlen definieren wir die Relation R⊆R×R R \subseteq \mathbb{R} \times \mathbb{R} R⊆R×R für alle a,b∈R a, b \in \mathbb{R} a,b∈R durch:(a,b)∈R genau dann, wenn (a−b)∈Z (a, b) \in R \quad \text { genau dann, wenn } \quad(a-b) \in \mathbb{Z} (a,b)∈R genau dann, wenn (a−b)∈ZBeweisen Sic, dass R R R eine Äquivalenzrelation ist. Beschreiben Sie die Äquivalenzklassen.
Hi, könnt ihr mir bei dieser Aufgabe helfen? Wie ich reflexivität beweise weiß ich. Ich habe Probleme bei der symmetrie und bei der transitivität.
Ich habe Probleme bei der symmetrie
Wenn ich die Voraussetzung habe, dass a−b=m∈Za-b=m \in \mathbb{Z}a−b=m∈Z ist, was kann ich dann über b−ab-ab−a schließen?
(a,b)∈R genau dann, wenn (a−b)∈Z(a, b) \in R \quad \text { genau dann, wenn } \quad(a-b) \in \mathbb{Z} (a,b)∈R genau dann, wenn (a−b)∈Z
Und wenn a-b ∈ℤ, dann auch -(a-b) = b-a ∈ℤ,
also (b,a) ∈ R.
Transitivität entsprechend:
a-b ∈ℤ und b-c∈ℤ
==> a-b + (b-c) = a-c ∈ℤ, also (a,c)∈ R.
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