Beweisen dass es sich um einer Äquivalenzrelation handelt

Question

Hallo Leute,

Ich bin folgender Aufgabe etwas verunsichert.

Sei \( A \rightarrow B\) eine Abbildung von A nach B, so wird durch

\( \forall a_{1}, a_{2} \in A: \quad\left(a_{1} \sim a_{2} \Longleftrightarrow f\left(a_{1}\right)=f\left(a_{2}\right)\right) \)

eine Äquivalenzrelation ~ auf A definiert.

Ich selber muss beweisen, dass das gilt. Dabei weiß ich, dass eine Relation erst dann eine  Äquivalenzrelation ist, wenn diese reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Nur weiß ich nicht, wie ich das beweisen soll …

Answer 1

reflexiv: Also zeigen, dass für alle a∈A gilt a~a

In dem Fall f(a) = f(a) . Dem ist so,

da f eine Abbildung ist.

symmetrisch: a~b ==>  b~a

Hier also f(a) = f(b) ==>   f(b) = f(a) 

Gilt wegen Symmetrie der Gleichheitsrelation.

transitiv: Da ist entsprechend zu zeigen

f(a) = f(b) und f(b) = f(c) ==>   f(a) = f(c) .

Passt also auch.